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  多邊形數是可以排成正多邊形的整數。古代數學家發現某些數目的豆子或珠子可以排成正多邊形。例如10可以排成三角形:


  x


  x x


  x x x


  x x x x


  但它不能排成正方形,而9則可以:


  x x x


  x x x


  x x x


  有些數既可排成三角形,又可排成正方形,例如36(這些數稱為三角平方數):


  x x x x x x


  x x x x x x


  x x x x x x


  x x x x x x


  x x x x x x


  x x x x x x


  x


  x x


  x x x


  x x x x


  x x x x x


  x x x x x x


  x x x x x x x


  x x x x x x x x


  多邊形數可以幫助數數目。例如將一堆圓形的藥丸倒進一個等邊三角形的盒,便可以透過數每邊的藥丸數目來知道藥丸的數目。


  將多邊形數擴充到下一個項的方法是,擴充某兩個相連的臂,然後將中間的空白處補上。下面的圖,每個增加的層用「+」表示。


  三角形數


  1:


  +               x


  3:


  x               x


  + +             x x


  6:


  x               x


  x x             x x


  + + +           x x x


  10:


  x               x


  x x             x x


  x x x           x x x


  + + + +         x x x x


  正方形數


  1:


  +               x


  4:


  x +             x x


  + +             x x


  9:


  x x +           x x x


  x x +           x x x


  + + +           x x x


  16:


  x x x +         x x x x


  x x x +         x x x x


  x x x +         x x x x


  + + + +         x x x x


  五邊形數:


  1:


  +                   x


  5:


  x                   x


  + +                 x x


  + +                 x x


  12:


  x                   x


  x x                 x x


  + x x +             x x x x


  +     +             x     x


  +  +  +             x  x  x


  1是任何多邊形數的第一項。


  第n個s邊形數的公式是 \FRAC{n((s-2)n-(s-4))}{2}


  費馬多邊形數定理指出每個數最多是n個n邊形的和。

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