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子集,是對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,就說集合A包含於集合B,或集合B包含集合A,也說集合A是集合B的子集。如B包含A,說明A是B的子集;或如A包含於B,也說明A是B的子集。如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,而集合B中至少有一個元素不屬於集合A,則稱集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。 任何一個集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.

1 子集 -定義

對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們就說集合A 包含於集合B,或集合B包含集合A,也說集合A是集合B的子集。

2 子集 -性質

空集是任何集合的子集。

3 子集 -舉例說明

任何一個正偶數都是自然數。就是說,正偶數集E的任何一個元素都是自然數集N的一個元素。   
對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,那麼集合A叫做集合B的子集。   
記作:A ⊆ B    
讀作「A含於B」(或B包含A)。例如,上述的   如果A是B的子集,但A中至少有一個元素不屬於B,那麼A就是B的真子集,可記作   
讀作「A不含於B」(或「B不包含A」)。

4 子集 -分類

命題 1:空集是任意集合的子集。   

證明:給定任意集合 A,要證明Φ是 A 的子集。這要求給出所有Φ的元素是 A 的元素;但是,Φ沒有元素。   
對有經驗的數學家們來說,推論 "Φ沒有元素,所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是顯然的;但對初學者來說,有些麻煩。 因為Φ沒有任何元素,如何使"這些元素"成為別的集合的元素? 換一種思維將有所幫助。   
為了證明Φ不是 A 的子集,必須找到一個元素,屬於Φ,但不屬於 A。 因為Φ沒有元素,所以這是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。   這個命題說明:包含是一種偏序關係。   

命題 2:若 A,B,C 是集合,則:   
自反性: A ⊆ A   
反對稱性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 當且僅當 A = B   
傳遞性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 則 A ⊆ C   
這個命題說明:對任意集合 S,S 的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。   

命題 3:若 A,B,C 是集合 S 的子集,則:   
存在一個最小元和一個最大元:   Φ ⊆ A ⊆ S (that Φ ⊆ A is Proposition 1 above.)   
存在並運算:   A ⊆ A∪B   若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 則 A∪B ⊆ C   
存在交運算:   A∩B ⊆ A   若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 則 C ⊆ A∩B   
這個命題說明:表述 "A ⊆ B " 和其他使用並集,交集和補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。   

命題 4: 對任意兩個集合 A 和 B,下列表述等價:   A ⊆ B   A ∩ B = A   A ∪ B = B   A − B =   B′ ⊆ A′

5 子集 -注意問題 

談起子集,特別要注意的是空集,記住空集是任何集合的子集,而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,故空集是任何非空集合的真子集。然後要知道,如果一個集合的元素有n個,那麼它的子集有2的n次方個(注意空集的存在),.非空子集有2的n次方減1個,真子集有2的n次方減1個,非空真子集有2的n次方減2個。

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