假設X是一個代數簇,P∈X是X上的一個奇點,如果存在一個包含P的開鄰域(又稱開集)U,使得U中不在包含其他的奇點, 那麼就稱P是孤立奇點。
如果函數F(z)在z1(1是下標)處不解析,但在z1的某一個去心領域0<|z-z1|<δ內處處解析,那麼z1稱為F(z)的孤立奇點。
例如函數1/z,在z=0處不解析,除0以外處處解析。但應指出不是所有的奇點都是孤立的,例如函數
1/(sin(1/z)),除了z=0是它的一個奇點外,z=1/(nπ) (n=±1,±2,±3……)也都是它的奇點。
函數在它的孤立奇點z1的去心領域內可展開成洛朗級數。根據展開式的不同情況將孤立奇點分為:
1.可去奇點
2.極點
3.本性奇點
可去奇點
定義:如果洛朗級數中不含z-z1的負冪項,那麼孤立奇點z1稱為函數F(z)的可去奇點。
例如,函數sinz\z在z=0處不解析,但函數的洛朗展開式:
sinz/z=(1/z)*[z-(1/3!)*z^3+(1/5!)*z^5…(-1)^n*(1/(2n+1)!)*z^(2n+1)]=1-(1/3!)*z^2+(1/5!)*z^4……
展開式中並不含負冪項,那麼此時z=0在展開式中又解析了,所以稱為可去奇點。
極點
定義:如果在洛朗級數中只有有限多個z-z1的負冪項,且其中關於(z-z1)^-1的最高冪為(z-z1)^-n,
那麼孤立奇點z1稱為函數F(z)的n級極點。即,
F(z)=C-n(Z- Z1)^-n+…C-2(Z- Z1)^-2+ C-1(Z- Z1)^-1+C0+ C1(Z-Z1)+C2(Z-Z1)^-2
=[C-n+ C-n+1(Z- Z1 )+ C-n+2 (Z- Z1 )^-2+……]*[1/(Z- Z1 )^n]
令G(z)=C-n+ C-n+1(Z- Z1 )+ C-n+2 (Z- Z1 )^2+……
當任何一個函數F(z)能表示成G(z)*[1/(Z- Z1 )^n],且G(Z1)時不等於零,那麼z1是函數的n級極點。
如果z1為F(z)的極點,就有l i m|F(z) |=+∞(z→z1)。
例如:F(z)=(z-2)/(z-1)^3,z=1就是它的一個三級極點。
本性奇點
定義:如果在洛朗級數中含有無窮多個z-z1的負冪項,那麼孤立奇點z1稱為F(z)的本性奇點。
例如:函數e^(1/z)以0為它的本性奇點。因為函數的展開式為:
e^(1/z)=1+z^-1+(1/2!)*z^-2……+(1/n!)*z^-n
綜上所述,如果z1為F(z)的可去奇點,那麼l i mF(z)(z→z1)存在且有限;
如果z1為F(z)的極點,那麼l i mF(z)=∞(z→z1);
如果z1為F(z)的本性奇點,那麼l i mF(z)(z→z1)不存在極限且不為∞;
通過極限的不同類型判別孤立奇點的類型。
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