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孿生素數猜想

標籤:數論孿生素數猜想弱孿生素數猜想

孿生素數猜想(the conjecture of twin primes)於1900年由希爾伯特提出,內容為猜測存在無窮多對孿生素數(相差2的質數)。截至2013年,孿生素數猜想尚沒有得到完全證明,但已有了階段性成果。

1簡介

孿生素數猜想是數論中的著名未解決問題。這個猜想正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出,可以被描述為「存在無窮個孿生素數」。
孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5 ,5和7,11和13,…,10016957和10016959等等都是孿生素數。
素數定理說明了素數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數,與素數一樣,也有相同的趨勢,並且這種趨勢比素數更為明顯。因此,孿生素數猜想是反直覺的。
由於孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯繫,因此不斷有學術共同體外的數學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經證明了孿生素數猜想。然而,尚未出現能夠通過專業數學工作者審視的證明。
1849年,法國數學家阿爾方·波利尼亞克提出了「波利尼亞克猜想」:對所有自然數k,存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k等於1時就是孿生素數猜想,而k等於其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想(即孿生素數猜想的弱化版)。因此,有人把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。
1921年,英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想,通常稱為「哈代-李特爾伍德猜想」或「強孿生素數猜想」(即孿生素數猜想的強化版)。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對,而且還給出其漸近分佈形式。中國數學家周海中指出:要證明強孿生素數猜想,人們仍要面對許多巨大的困難。

2研究進展

估算性結果
證明孿生素數猜想的另一類結果則是估算性結果。 這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔Δ, 更確切地說是:
\Delta=\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}
翻譯成白話文, 這個表達式所定義的是兩個相鄰素數之間的間隔, 與其中較小的那個素數的對數值之比在整個素數集合中所取的最小值。 很顯然, 孿生素數猜想如果成立, 那麼 Δ 必須等於 0。 因為孿生素數猜想表明 pn+1-pn=2 對無窮多個 n 成立, 而 ln(pn)→∞, 因此兩者之比的最小值對於孿生素數集合 (從而對於整個素數集合也) 趨於零。 不過要注意, Δ=0 只是孿生素數猜想成立的必要條件, 而不是充份條件。 換句話說, 如果能證明 Δ≠0, 則孿生素數猜想就不成立; 但證明 Δ=0 卻並不意味著孿生素數猜想就一定成立。
對 Δ 最簡單的估算來自於素數定理。 按照素數定理, 對於足夠大的 x, 在 x 附近素數出現的幾率為 1/ln(x), 這表明素數之間的平均間隔為 ln(x) (這也正是 Δ 的表達式中出現 ln(pn) 的原因), 從而 (pn+1-pn)/ln(pn) 給出的其實是相鄰素數之間的間隔與平均間隔的比值, 其平均值顯然為 1。 平均值為 1, 最小值顯然是小於等於 1, 因此素數定理給出 Δ≤1。
對 Δ 的進一步估算始於 Hardy 和 Littlewood。 一九二六年, 他們運用圓法 (circle method) 證明了假如廣義 Riemann 猜想成立, 則 Δ≤2/3。 這一結果後來被被 Rankin 改進為 Δ≤3/5。 但這兩個結果都有賴於本身尚未得到證明的廣義 Riemann 猜想, 因此只能算是有條件的結果。 一九四零年, Erdös 利用篩法首先給出了一個不帶條件的結果: Δ<1 (即把素數定理給出的結果中的等號部分去掉了)。 此後 Ricci 於一九五五年, Bombieri 和 Davenport 於一九六六年, Huxley 於一九七七年, 分別把這一結果推進到 Δ≤15/16, Δ≤(2+√3)/8≈0.4665 及 Δ≤0.4425。 Goldston 和 Yildirim 之前最好的結果是 Maier 在一九八六年取得的 Δ≤0.2486。
2003年, Goldston 和 Yildirim 發表了一篇論文,聲稱證明了 Δ=0。但2003年4月23日, Andrew Granville (University de Montreal) 和 Kannan Soundararajan (University of Michigan) 發現了 Goldston 和 Yildirim 證明中的一個錯誤。[7-8]2005年,他們與Janos Pintz合作完成了證明。此外,若Elliott–Halberstam猜想成立,孿生素
Daniel Goldston

  Daniel Goldston

數猜想的弱化版本——存在無窮多對相距16的素數——在Δ=0時也會成立。
Δ=0 被證明後人們的注意力自然就轉到了研究 Δ 趨於 0 的方式上來。 孿生素數猜想要求 Δ ~ [log(pn)] (因為 pn+1-pn=2 對無窮多個 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的證明所給出的則是 Δ ~ [log(pn)], 兩者之間還有相當距離。 但是看過 Goldston 和 Yildirim 手稿的一些數學家認為, Goldston 和 Yildirim 所用的方法存在改進的空間。 這就是說, 他們的方法有可能可以對 Δ 趨於 0 的方式作出更強的估計。 因此 Goldston 和 Yildirim 的證明, 其價值不僅僅在於結果本身, 更在於它很有可能成為未來一系列研究的起點。

3相關研究

1849年,阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想:對所有自然數k,存在無窮多個素數對 (p,p + 2k)。k = 1的情況就是孿生素數猜想。因此,波利尼亞克有時也被認為是孿生素數猜想的提出者。
1921年,英國數學家哈代和李特爾伍德提出了以下的強化版猜想:設
\pi_2\left(N\right)
為前N個自然數里孿生素數的個數。那麼
\pi_2(N)\approx\int_2^N\frac{dt}{\left(lnt\right)^2}\approx2C_{twin}\frac{N}{ln^2N}
其中的常數
C_{twin}
是所謂的孿生素數常數
\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \\&= 0.6601618158468695739278121 \ldots\end{align}
其中的p表示素數。
哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指「孿生素數有無窮多個」。這個猜想至今仍未被證明。然而,哈代和李特爾伍德的猜測並不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。
被證明
華人數學家張益康,因為解決世界性數學難題——孿生素數猜想受到廣泛矚目。《連線》雜誌對其進行了專訪,向公眾展示了一個默默無聞的數學家獨自解決困擾世界2000年之久猜想背後的故事。
在4月17號那一天, 一篇論文被投遞到《數學年刊》——這一領域的最聲名顯赫的期刊——的信箱中. 論文的作者——新罕布希爾大學的講師,年逾50的張益唐在該領域並不為其他的專家所知. 這篇論文聲稱其朝著解決數學史上最古老的問題——孿生素數問題前進了一大步。
那些著名的數學期刊的編輯早已習慣面對那些不知名作者誇大其詞的主張。不過這篇論文卻與眾不同。寫就其的作者,語言清晰嚴密並且掌握了該問題最前沿的方法。這顯然是一份深思熟慮的證明,年刊的編輯決定優先進行它的審閱工作。
僅僅三周之後 —— 相對於數學期刊通常的審稿節奏,就是一眨眼的功夫 —— 張收到了他的論文的審稿意見。
「主要成果無疑是頂級的」, 一個審稿人寫到。論文的作者證明了「關於素數分佈的里程碑式的定理」。
一項巨大進展被一個之前默默無聞的研究者發現了——這個傳聞在數學家裡迅速傳播來。他在1992獲得博士學位之後,其學術才能就被人所忽視,找不到學術界的工作,當過幾年會計,甚至在Subway干過。
「事實上,沒人認識他。」 Andrew Granville,蒙特利爾大學的數論研究者說,「現在,突然之間,他就做出了數論史上最重要的一個證明之一」。
哈佛大學的數學家們在5月13號急忙地為張安排了報告會,讓他在眾多的觀眾前展示自己的成果。當更多的細節浮出水面之時,很顯然的是,張的成果並不是通過一個全新的方法得到的,而是堅持不懈地運用已有的方法。
「這個領域的專家早就已經嘗試過使用這種方法」,Granville說。「他並不為人所知,但是那些專家都失敗了,而他成功了」
關於「數對」的問題
素數——那些因數除了1就是他們本身的數們——就像代數的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素數有無窮多個——開始,它們就讓無數數學家們為之傾倒。
因 為素數從根本上和乘法相關,理解他們和加法相關的性質就變得很困難。一些數學上最古老的未解之謎就和素數和加法相關,其中之一就是孿生素數猜想——存在無 限多組差為2的素數對。另一個則是哥德巴赫猜想,這個猜想提出所有的偶數都可以表示為兩個素數之和(非常湊巧的是,后一個猜想的簡化版本,在張在哈佛做報 告的時候,被巴黎高等師範學校的Harald Helfgott發布在網上的論文給解決了)。
在自然數列的起始部分存在著大量的素數,但是 隨著數字變大,他們變得原來越稀少。舉例來說,在前10個自然數里,40%都是素數——2,3,5和7——但是在所有的10位數里,僅有4%的數是素數。 在過去的一個世紀里,數學家們掌握了素數減少的規律:在大數中,連個素數之間的間隔大約是位數的2.3倍。舉例說明,在100位的數中,兩個素數的平均間 隔大約是230.
但是這只是平均而言。素數通常比平均預計的更加緊密的出現,或者相隔更遠。具體來說,「孿生」素數通常扎堆出現,比如3和 5還有11和13,他們的差僅為2。而在大數中,孿生素數似乎從沒有完全消失(目前發現的最大的孿生素數是3,756,801,695,685 x 2^666,669 – 1和3,756,801,695,685 x 2^666,669 + 1 )。
數百年來,數學家都假設有無窮對孿生素數。1849年,法國數學家Alphonse de Polignac擴展了這個猜想,提出不僅僅是2,對於任意有限的間隔都存在著無窮多的素數對。
從那時開始,這些猜想的內在吸引力冠予了它們數學的聖杯的稱號,雖然他們可能沒有實際的應用。雖然有很多致力於證明其的嘗試,數學家們還是不能排除素數的間隔會一直增長最終超過一個特定上限的可能。
張攻破了這道障礙,他的論文顯示對於某一個小於7千萬的數字N,存在無窮多的素數對,他們之間的差小於N。無論你在那些真正巨大素數的沙漠裡面步行多久——不論這些素數變得多麼的稀疏,你總會不聽的發現差小於7千萬的素數對。
這個結果「令人震驚」,San Jose州立大學的數論學者,Daniel Goldston說到。「它是那些問題中的一員,那些你之前以為可能永遠都無法被解決的問題」。
素數的篩
張的證明建立在一篇論文之上。這篇論文被數論家們稱為GPY,由他的三位作者的姓名的首字母命名。它非常的接近最終的結論,但是最後還是無法證明在有限的間隔下,存在無限多的素數。
這 篇論文的結論證明,總是存在素數對,他們的間隔小於平均的預計。說的更清楚一些,GPY證明對於你選擇的任意一個分數,無論這個分數多麼的小,總會存在一 組素數,他們之間的間隔小於這個分數乘以平均的間隔,如果數足夠大的話。但是這些研究者不能證明這些間隔總是小於某一個特定的有限值。
GPY使用了一種被稱為「篩法」的方法去過濾出那些比平均間隔更加接近的素數。從2000年的埃拉托色尼篩法——一種尋找素數的方法開始,篩法長時間以來一直被用於素數的研究之中。
使用埃拉托色尼篩法來尋找100以內的素數,我們從2開始,劃掉100以內能被2整出的數。接著來到3,劃掉所有能被3整除的數。4已經被劃掉,所以你直接跳到5,劃去所有能被5整出的數,以此類推。最後剩下的數就是素數。
埃拉托色尼篩在識別素數上表現完美,但是對於解決理論問題卻過於笨重低效。在過去的一個世紀中,針對這些問題,數論家們發展出了一整套方法來提供近似的答案。
「埃拉托色尼篩的效果實在是太好了,」Goldston提到。「現代篩法放棄了完美的過濾」。
GPY設計了一種篩可以過濾出一連串的數,這些數中可能有潛在的素數對。為了從這些數中發現事實上的素數對,研究者們將他們的「篩」和一個函數結合起來,這個函數的有效性取決於一個被稱為分佈層級的係數,它用來衡量素數會以多快的速度開始顯現出某些規律性。
這個分佈層級係數被認為至少為1/2。這正好是GPY所採納的係數,但是它無法證明在一個確定的間隔之內總是存在滿足條件的素數對。GPY方法所使用的篩可以證明這個結論,但是需要這個係數被證明可以大於1/2.任何超過1/2的數都可以滿足條件。
GPY定理「距離解決這個問題僅僅一個髮絲的距離」,研究者們這樣寫到。
但 是隨著更多的研究者試著解決這個困難,這個頭髮就變得原來越粗。在上世紀80年代,3個研究者——Enrico Bombieri,John Friedlander和Henryk Iwaniec——通過調整分佈層級係數的定義,將其調整到4/7. 在05年GPY論文發表之後,研究者們努力的試著將這個調整定義之後的係數整合進GPY的框架之內,但是都無功而返。
「這個領域的大家嘗試並且失敗了,」Granville評論到.「我私下認為,沒有人能在短時間內做到。」
跨越溝壑
與此同時,張一人孤軍奮戰,試圖在GPY定理和孿生素數定理之間架起橋樑。作為一個中國移民,他從普度大學接受了博士學位。一直以來,他都對於數論充滿興趣,即使這不是他博士論文的題目。在那些困難的歲月,他無法獲得一份學術界的工作,他依然繼續緊跟該領域的進展。
「在你的整個事業里,有很多的機會,重要的是要保持思考」他說。張讀到了GPY的論文,並且讀到了那句關於GPY定理和孿生素數猜想僅有一髮絲之遙的話。「那句話給了我非常深刻的印象」他說到。
沒有和該領域的專家進行交流,張開始獨自思考這個問題。可是經過了3年,他卻沒有一點兒進展。「我感到非常的疲憊」他說。
為了放鬆一下,上個夏天,張拜訪了他在科羅拉多州的朋友。那裡,6月3號,在他朋友的後院等待啟程去演唱會的半個小時時間裡,他突然想到了問題的答案。「我一下子就意識到這樣可以行得通。」他說。
張的想法是不直接使用GPY篩而是對其進行修改。修改後的篩,不會對每一個數都進行過濾,而僅僅是那些沒有大的質因數的數。
「他發明的篩並不是那麼的完善因為你並沒有用上所有你可以用來過濾的東西,」Goldston說,」但是,雖然沒那麼有效,這卻給了他靈活性,讓結論能夠成立「。
雖 然新發明的篩可以使得張能夠證明存在無限多組素數對差不超過7千萬,使用他的方法證明孿生素數猜想卻不大可能,Goldston說到。即使在對於分佈層級 係數最強的假設條件之下,他說,通過GPY方法所能得到的最好的結果也是存在無窮多的素數對他們的差不超過16或更少。
但是Granville卻認為,數學家們不能提前排除使用這些方法來證明孿生素數猜想的可能性。
」這次的發現是革命性的,並且一些時候當一個新的證明出現,之前被認為非常困難的問題,被發現僅僅是其一個細微的擴展「他說。」現在開始,我們需要研究這篇論文,看能從種發現些什麼「。
張花費了數月的時間來完善所有的細節,但是最終的論文卻是清晰闡述的典範,Granville評價道。」他顧及到了每一個細節,讓人無從質疑,絲毫也不含糊。「
在張收到了審稿意見以後,事件被飛速公布出來。演講的邀請紛至沓來。」我認為大家對於一個默默無聞的人能做到這一點感到相當的興奮「Granville說。
對於張——一個自己評價自己很害羞的人來說,成為聚光燈的焦點有點兒不舒服。「我不禁自問,『為什麼一切來的這麼之快?』」他說,「一些時候,這令人感到困惑」。
張在他的哈佛的演講上卻一點兒都沒有膽怯。演講以其清晰性被出席者所稱道。「當我做演講並且專註於數學時,我就把害羞丟在腦後了」他說。
張提到,他對於他之前相對默默無聞的學術生涯一點兒也沒感覺怨恨。「我的心態很平和。我不是特別在乎錢,或者榮譽,」他說,「我渴望安靜和一個人工作」。
與此同時,張已經開始了他的下一個計劃,他拒絕更加詳細的透露。「希望能取得不錯的結果」,他說。

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