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《宇宙系統論》是拉普拉斯另一部名垂千古的傑作。

宇宙系統論宇宙系統論啟發
宇宙系統論
英語名稱:universesystemtheory

 

 

 

1 宇宙系統論 -基本概念

宇宙系統論宇宙系統論
《宇宙系統論》是拉普拉斯另一部名垂千古的傑作。在這部書中,他獨立於康德,提出了第一個科學的太陽系起源理論——星雲說。康德的星雲說是從哲學角度提出的,而拉普拉斯則從數學、力學角度充實了星雲說,因此,人們常常把他們兩人的星雲說稱為「康德-拉普拉斯星雲說」。拉普拉斯在數學和物理學方面也有重要貢獻,以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程,在科學技術的各個領域有著廣泛的應用。

因為物質存在的基本形式和普遍形式是系統及其運動。由系統論知大系統制小系統(亦即母系統制子系統),小系統受制於大系統。要想認識事物的發展趨向,首先必須研究母系統的吸引子,然後再依次研究其所屬各層子系統。而我們所在時空的系統層次又是老子說的「人法地,地法天,天法道,道法自然。」因此就必須首先研究宇宙這個母系統的吸引子。這就產生了「宇宙系統論」。

2 宇宙系統論 -拉普拉斯

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19世紀下半葉,英國偉大的科學家牛頓,在當時生產實踐和實驗的基礎上,集前人力學知識之大成,奠定了古典力學的基本體系,把力學這一門古老的學科,推到了一個新的高度。人們運用牛頓力學的原理,在自然科學和工程技術的領域中,不斷獲得可喜的成功。到了19世紀初,牛頓力學已經發展成為一門理論嚴密,體系完整的學科。

由於牛頓力學的光輝成就和日臻完善,使得一些科學家躊躇滿志,傲然自得起來。他們認為,牛頓力學是闡明宇宙一切奧秘的「完美無缺」的理論,沒有什麼自然現象是牛頓力學所不能解釋的,一旦人們掌握了牛頓力學,科學的真理就被窮盡了。不少人覺得,科學理論的大廈業已建成,日後的科學除了對已有的理論進行修修補補之外,似乎已經無事可做。科學家的任務至多也只有在已知規律的公式的小數點後面加上幾個數字罷了。在持有這種想法的人群中,法國著名的科學家拉普拉斯就是典型的一個。

拉普拉斯出身於法國諾曼底半島的一個農民的家庭,由於家境清寒,靠親朋的資助才得以求學。18歲時,拉普拉斯來到巴黎謀生,把一篇關於力學原理的論文呈遞給當時的大科學家達朗貝爾審閱,受到了達朗貝爾的器重。經達朗貝爾的推薦,拉普拉斯進了巴黎軍事學校,擔任數學教師。在他教過的學生裡面就有拿破崙·波拿巴。拉普拉斯在數學和天文學方面曾作出過卓越的貢獻。著名的康德—拉普拉斯星雲說,由於拉普拉斯的《宇宙系統論》一書的發表,才發生廣泛的影響,而且他對宗教的態度比牛頓、康德更為激進。

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在天體演化學說中,拉普拉斯拋棄了牛頓把宇宙間天體運行的動因歸之於「第一推動力」的觀點,大膽取消了「上帝」的作用。在拉普拉斯的主要著作《天體力學》發表之後,有人告訴拿破崙說,在這本著作中拉普拉斯沒有提到「上帝」的名字。有一次,拿破崙對拉普拉斯說:「有人告訴我,你寫了這部討論宇宙體系的大著作,但從不提到它的創造者。」拉普拉斯挺直了身子,率直地回答道:「陛下,我用不著那樣的假設。」不僅如此,在天體運動的過程中,拉普拉斯也不許「上帝」來干涉,牛頓雖然很早就解決了太陽系中各個行星的運動問題,但是在回答天體運動過程中,是否會出現由於某些擾動而造成整個太陽系的「事故」問題時,牛頓卻再一次引進「上帝」的概念。牛頓的答案是,在太陽系的運動恢復正常而免遭不幸。拉普拉斯卻截然相反,他認為根本用不著「上帝」來幫助,拉普拉斯根據準確的計算指出,太陽系的運行是絕對準確有序的,不可能出現任何危機。這個論斷否定了「上帝」對太陽系進一步干涉的權利,這在當時是有進步意義的。比起牛頓、康德來,拉普拉斯是更為徹底的唯物主義者,不愧為18世紀至19世紀期間的一位戰鬥的無神論者。

然而,拉普拉斯卻對古典力學過於迷信了。他把牛頓關於機械運動的理論,推廣到一切現象里去,把整個世界都納入一個機械的圖像之內,企圖把一切運動都變成機械運動,完全抹殺高級運動與低級運動、複雜運動與簡單運動之間的差別。拉普拉斯進而認為,世界上一切事物,由太陽系中的行星到人的身體內的原子,都準確地遵從著相同的力學規律,因此,任何物理現象都必須由牛頓力學作出最終的註釋。

3 宇宙系統論 -神聖計算者

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1812年,拉普拉斯提出了他的著名的「神聖計算者」的觀點。拉普拉斯認為,如果在創造世界的時候。存在於自然界的一切力量和自然界各個組成部分的詳細狀態,被一個智慧淵博的「神聖計算者」全部掌握,那麼,他就可以「用一個公式來概括宇宙中最大的物體的運動和最微小的原子的運動,也就是說,沒有任何東西不是智慧者確切知道的,它對於未來的東西如同對於過去的東西一樣了如指掌。」因而,「神聖計算者」能夠預見整個宇宙在無論多少世代以後的一切事情。

在拉普拉斯看來,古典力學已經成為「終極理論」,有了它就能窮盡一切真理。拉普拉斯說:「可以想象,關於自然的知識達到這樣一個水平:整個世界的過程都可以在一個簡單的數學公式中表現出來,從一個聯立微分方程式的巨大系統中,宇宙中每一個原子的運動的位置、方向和速度都可以在任何瞬間中計算出來。」既然未來的一切皆可預先卜知。那麼,科學理論自然就沒有發展的必要了。然而,科學巨人的腳步並沒有滿足「神聖計算者」的奢望而停頓下來。探幽索微,永無盡止,繼研究低速、宏觀世界之後,人類又向高速,微觀世界進軍。以牛頓力學為基礎的經典物理學,逐步過渡到以相對論和量子力學為代表的新物理學。科學的實踐證明,牛頓力學並不是科學上的「終極理論」,而只是科學發展過程中的一座重要的里程碑。在這一點上,牛頓對自己的估價倒是值得讚揚的,1727年2月,牛頓得了膽結石,自認為不行了,他說:「我不知世人對我怎麼看法,不過我自己只是覺得好像在海濱玩耍的一個小孩子,有時很高興地拾著一顆光滑美麗的石子,但真理的大海,我還是沒有發現。

4 宇宙系統論 -拉普拉斯變換

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拉普拉斯變換的推導途徑:
1、從數學角度:通過積分變換進行函數到函數的變換,將微分方程變為代數方程。
2、從物理意義推導:本質上依然是將信號分解為多個正交的子信號的和(積分),或可以從FT推廣出。從傅里葉變換導出拉普拉斯變換,可以更加清晰地解釋其物理含義,並且可以將兩種變換緊密地聯繫起來。拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法,把定義在時域上的信號(函數)映射到復頻域上(要理解這句話,需要了解一下函數空間的概念--人們知道,函數定義了一種「從一個集合的元素到另一個集合的元素」的關係,而兩個或以上的函數組合成的集合,就是函數空間,即函數空間也是一個集合;拉普拉斯變換的「定義域」,就是函數空間,可以說,拉普拉斯變換就是一種處理函數的函數。由於拉普拉斯變換定義得相當巧妙,所以它就具有一些奇特的特質),而且,這是一種一一對應的關係(只要給定復頻域的收斂域),故只要給定一個時域函數(信號),它就能通過拉普拉斯變換變換到一個復頻域信號(不管這個信號是實信號還是複信號),因而,只要我們對這個復頻域信號進行處理,也就相當於對時域信號進行處理(例如設f(t)←→F(s),Re[s]>a,則若我們對F(s)進行時延處理,得到信號F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那麼就相當於人們給時域函數乘以一個旋轉因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z];只要對F(s-z)進行反變換,就可以得到f(t)e^zt)。

拉普拉斯變換被用於求解微分方程,主要是應用拉普拉斯變換的幾個性質,使求解微分方程轉變為求解代數方程(因為求解代數方程總比求解微分方程容易得多。而且,(可以很方便地)對求解結果進行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解)。人們總可以容易地畫出實變函數的圖像(絕大多數函數的確如此),但我們難以畫出一個複變函數的圖象,這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一;而另外一個原因,就是拉普拉斯變換中的復頻率s沒有明確的物理意義。關於特徵根和複數,建議提問者再去看看書中的定義,應該不難理解。

5 宇宙系統論 -拉普拉斯方程

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以法國P.-S.拉普拉斯命名的二階偏微分方程。在三維直角坐標系中,它的形式是:它的二次連續可微解稱為調和函數,調和函數有極多的光滑性。拉普拉斯方程在物理吸廣泛應用,因為它的解出現在電、磁、引力位勢、穩態溫度以及流體動力學各方面的問題中。拉普拉斯方程,又名調和方程,是一種偏微分方程。因為由法國數學家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題,因為這種方程以勢函數的形式描寫了電場、引力場和流場等物理對象(一般統稱為「保守場」或「有勢場」)的性質。三維情況下,拉普拉斯方程可由下面的形式描述,問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函數φ:

{\partial^2\varphi\over\partialx^2}+{\partial^2\varphi\over\partialy^2}+{\partial^2\varphi\over\partialz^2}=0.
上面的方程常常簡寫作:
\nabla^2\varphi=0

\operatorname\,\operatorname\,\varphi=0,
其中div表示矢量場的散度(結果是一個標量場),grad表示標量場的梯度(結果是一個矢量場),或者簡寫作:
\Delta\varphi=0
其中Δ稱為拉普拉斯運算元.
拉普拉斯方程的解稱為調和函數。
如果等號右邊是一個給定的函數f(x,y,z),即:
\Delta\varphi=f

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則該方程稱為泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓形偏微分方程。偏微分運算元\nabla^2或\Delta(可以在任意維空間中定義這樣的運算元)稱為拉普拉斯運算元,英文是Laplaceoperator或簡稱作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄里克雷問題可歸結為求解在區域D內定義的函數φ,使得\varphi在D的邊界上等於某給定的函數。為方便敘述,以下採用拉普拉斯運算元應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹:固定區域邊界上的溫度(是邊界上各點位置坐標的函數),直到區域內部熱傳導使溫度分佈達到穩定,這個溫度分佈場就是相應的狄里克雷問題的解。

拉普拉斯方程的諾依曼型邊界條件不直接給出區域D邊界處的溫度函數φ本身,而是φ沿D的邊界法向的導數。從物理的角度看,這種邊界條件給出的是矢量場的勢分佈在區域邊界處的已知效果(對熱傳導問題而言,這種效果便是邊界熱流密度)。拉普拉斯方程的解稱為調和函數,此函數在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函數,如果它們都滿足拉普拉斯方程(或任意線性微分方程),這兩個函數之和(或任意形式的線性組合)同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將複雜問題的已知簡單特解組合起來,構造適用面更廣的通解。

二維拉普拉斯方程
兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式:
\varphi_+\varphi_=0.\,
解析函數
解析函數的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。換言之,若z=x+iy,並且
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\,

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那麼f(z)是解析函數的充要條件是它滿足下列柯西-黎曼方程:
u_x=v_y,\quadv_x=-u_y.\,
上述方程繼續求導就得到
u_=(-v_x)_y=-(v_y)_x=-(u_x)_x.\,
所以u滿足拉普拉斯方程。類似的計算可推得v同樣滿足拉普拉斯方程。
反之,給定一個由解析函數(或至少在某點及其鄰域內解析的函數)f(z)的實部確定的調和函數,若寫成下列形式:
f(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y),\,
則等式
\psi_x=-\varphi_y,\quad\psi_y=\varphi_x.\,
成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。上述關係無法確定ψ,只能得到它的微增量表達式:
d\psi=-\varphi_y\,dx+\varphi_x\,dy.\,
φ滿足拉普拉斯方程意味著ψ滿足可積條件:
\psi_=\psi_,\,
所以可以通過一個線積分來定義ψ。可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關,僅由起點和終點決定。於是,我們便通過複變函數方法得到了φ和ψ這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛調和函數。這種構造解的方法只在局部(複變函數f(z))的解析域內)有效,或者說,構造函數的積分路徑不能圍繞有f(z)的奇點。譬如,在極坐標平面(r,θ)上定義函數
\varphi=\logr,\,
那麼相應的解析函數為
f(z)=\logz=\logr+i\theta.\,
在這裡需要注意的是,極角θ僅在不包含原點的區域內才是單值的。拉普拉斯方程與解析函數之間的緊密聯繫說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導(這是解析函數的一個性質),因此可以展開成冪級數形式,至少在不包含奇點的圓域內是如此。這與波動方程的解形成鮮明對照,後者包含任意函數,其中一些的可微分階數是很小的。冪級數和傅里葉級數之間存在著密切的關係。如果我們將函數f在複平面上以原點為中心,R為半徑的圓域內展開成冪級數,即
f(z)=\sum_{n=0}^\inftyc_nz^n,\,
將每一項係數適當地分離出實部和虛部
c_n=a_n+ib_n.\,
那麼
f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left[a_nr^n\cosn\theta-b_n\sinn\theta\right]+i\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\sinn\theta+b_n\cosn\theta\right],\,
這便是f的傅里葉級數。

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在流場中的應用
設u、v分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的x和y方向分量(這裡僅考慮二維流場),那麼不可壓縮條件為:
u_x+v_y=0,\,
無旋條件為:
v_x-u_y=0.\,
若定義一個標量函數ψ,使其微分滿足:
d\psi=v\,dx-u\,dy,\,
那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。積分的結果函數ψ稱為流函數,因為它在同一條流線上各點的值是相同的。ψ的一階偏導為:
\psi_x=v,\quad\psi_y=-u,\,
無旋條件即令ψ滿足拉普拉斯方程。ψ的共軛調和函數φ稱為速度勢。柯西-黎曼方程要求
\varphi_x=-u,\quad\varphi_y=-v.\,
所以每一個解析函數都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。解析函數的實部為速度勢函數,虛部為流函數。
]在電磁學中的應用
根據麥克斯韋方程組,二維空間中不隨時間變化的電場(u,v)滿足:
\nabla\times(u,v)=v_x-u_y=0,\,

\nabla\cdot(u,v)=\rho,\,
其中ρ為電荷密度。第一個麥克斯韋方程便是下列微分式的可積條件:
d\varphi=-u\,dx-v\,dy,\,
所以可以構造電勢函數φ使其滿足
\varphi_x=-u,\quad\varphi_y=-v.\,
第二個麥克斯韋方程即:
\varphi_+\varphi_=-\rho,\,
這是一個泊松方程。

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三維拉普拉斯方程
基本解
拉普拉斯方程的基本解滿足
\nabla\cdot\nablau=u_+u_+u_=-\delta(x-x',y-y',z-z'),\,
其中的三維δ函數代表位於(x',\,y',\,z')的一個點源。由基本解的定義,若對u作用拉普拉斯運算元,再把結果在包含點源的任意體積內積分,那麼
\iiint_V\nabla\cdot\nablaudV=-1.\,
由於坐標軸旋轉不改變拉普拉斯方程的形式,所以基本解必然包含在那些僅與到點源距離r相關的解中。如果我們選取包含點源、半徑為a的球形域作為積分域,那麼根據高斯散度定理
-1=\iiint_V\nabla\cdot\nablau\,dV=\iint_Su_rdS=4\pia^2u_r(a).\,
求得在以點源為中心,半徑為r的球面上有u_r(r)=-\frac{4\pir^2},\,
所以u=\frac{4\pir}.\,經過類似的推導同樣可求得二維形式的解u=\frac{-\logr}{2\pi}.\,

6 宇宙系統論 -詳細介紹

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拉普拉斯(1749-1827)

拉普拉斯(Laplace,Pierre-Simon,marquisde),法國著名數學家和天文學家,拉普拉斯是天體力學的主要奠基人,是天體演化學的創立者之一,是分析概率論的創始人,是應用數學的先軀。拉普拉斯用數學方法證明了行星的軌道大小隻有周期性變化,這就是著名拉普拉斯的定理。他發表的天文學、數學和物理學的論文有270多篇,專著合計有4006多頁。其中最有代表性的專著有《天體力學》、《宇宙體系論》和《概率分析理論》。1796年,他發表《宇宙體系論》。因研究太陽系穩定性的動力學問題被譽為法國的牛頓和天體力學之父。著名的天文學家和數學家,天體力學的集大成者。

拉普拉斯生於法國諾曼底的博蒙,父親是一個農場主,他從青年時期就顯示出卓越的數學才能,18歲時離家赴巴黎,決定從事數學工作。於是帶著一封推薦信去找當時法國著名學者達朗貝爾,但被後者拒絕接見。拉普拉斯就寄去一篇力學方面的論文給達朗貝爾。這篇論文出色至極,以至達朗貝爾忽然高興得要當他的教父,並使拉普拉斯被推薦到軍事學校教書。此後,他同拉瓦錫在一起工作了一個時期,他們測定了許多物質的比熱。1780年,他們兩人證明了將一種化合物分解為其組成元素所需的熱量就等於這些元素形成該化合物時所放出的熱量。這可以看作是熱化學的開端,而且,它也是繼布拉克關於潛熱的研究工作之後向能量守恆定律邁進的又一個里程碑,60年後這個定律終於瓜熟蒂落地誕生了。拉普拉斯的主要注意力集中在天體力學的研究上面,尤其是太陽系天體攝動,以及太陽系的普遍穩定性問題。他把牛頓的萬有引力定律應用到整個太陽系,1773年解決了一個當時著名的難題:解釋木星軌道為什麼在不斷地收縮,而同時土星的軌道又在不斷地膨脹。拉普拉斯用數學方法證明行星平均運動的不變性,並證明為偏心率和傾角的3次冪。這就是著名的拉普拉斯定理,從此開始了太陽系穩定性問題的研究。同年,他成為法國科學院副院士,1784~1785年,他求得天體對其外任一質點的引力分量可以用一個勢函數來表示,這個勢函數滿足一個偏微分方程,即著名的拉普拉斯方程。1785年他被選為科學院院士。1786年證明行星軌道的偏心率和傾角總保持很小和恆定,能自動調整,即攝動效應是守恆和周期性的,即不會積累也不會消解。1787年發現月球的加速度同地球軌道的偏心率有關,從理論上解決了太陽系動態中觀測到的最後一個反常問題。1796年他的著作《宇宙體系論》問世,書中提出了對後來有重大影響的關於行星起源的星雲假說。他長期從事大行星運動理論和月球運動理論方面的研究,在總結前人研究的基礎上取得大量重要成果,他的這些成果集中在1799~1825年出版的5卷16冊巨著《天體力學》之內。在這部著作中第一次提出天體力學這一名詞,是經典天體力學的代表作。這一時期中席捲法國的政治變動,包括拿破崙的興起和衰落,沒有顯著地打斷他的工作,儘管他是個曾染指政治的人。他的威望以及他將數學應用于軍事問題的才能保護了他。他還顯示出一種並不值得佩服的在政治態度方面見風使舵的能力。

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拉普拉斯在數學上也有許多貢獻。1812年發表了重要的《概率分析理論》一書。1799年他還擔任過法國經度局局長,並在拿破崙政府中任過6個星期的內政部長。拉普拉斯的著名傑作《天體力學》,集各家之大成,書中第一次提出了「天體力學」的學科名稱,是經典天體力學的代表著作。《宇宙系統論》是拉普拉斯另一部名垂千古的傑作。在這部書中,他獨立於康德,提出了第一個科學的太陽系起源理論——星雲說。康德的星雲說是從哲學角度提出的,而拉普拉斯則從數學、力學角度充實了星雲說,因此,人們常常把他們兩人的星雲說稱為「康德-拉普拉斯星雲說」。

拉普拉斯在科學上的主要成就涉及天體力學、宇宙論、分析和概率論等方面。拉普拉斯是天體力學的主要奠基人,是天體演化學的創立者之一,是分析概率論的創始人,是應用數學的先軀。拉普拉斯用數學方法證明了行星的軌道大小隻有周期性變化,這就是著名拉普拉斯的定理。他發表的天文學、數學和物理學的論文有270多篇,專著合計有4006多頁。其中最有代表性的專著有《天體力學》、《宇宙體系論》和《概率的分析理論》。1796年,他發表《宇宙體系論》。因研究太陽系穩定性的動力學問題被譽為法國的牛頓和天體力學之父。他的五大卷《天體力學》(1799~1825)已成為整個科學史上的經典巨著。他在數學方面的貢獻也多與天體力學和其他應用研究有關。1812年出版的《概率的分析理論》一書,是對前人及他自己研究成果的全面總結,運用17、18世紀發展起來的強有力的分析工具處理概率論的基本內容,使以往零散的結果系統化。這本書除給出概率論方面的一些重要概念、導出包括中心極限定理在內的一些重要定理等內容以外,還引進了被廣泛應用的「拉普拉斯變換」。

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拉普拉斯對純粹數學並不是很感興趣,他愛好應用,數學只是一種手段,而不是目的,使人們為了解決科學問題而必須精通的一種工具。拉普拉斯的虛榮心較強,經常不交代他的結果的來源,給人的印象好像都是他自己的,事實上,他利用了拉格朗日的許多概念而未做聲明。拉普拉斯在數學和物理學方面也有重要貢獻,以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程,在科學技術的各個領域有著廣泛的應用。

補充說明:
1.拉普拉斯曾任拿破崙的老師,所以和拿破崙結下不解之緣。
2.拉普拉斯在數學上是個大師,在政治上是個小人物,牆頭草,總是效忠於得勢的一邊,被人看不起,拿破崙曾譏笑他把無窮小量的精神帶到內閣里。

7 宇宙系統論 -參考資料

1、http://ks.cn.yahoo.com/question/1590000814875.html
2、http://zhidao.baidu.com/question/9282551.html?fr=qrl
3、http://engine.cqvip.com/content/s/80160x/2003/000/002/ny03_s1_7609090.pdf

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