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在數學及其相關領域中,一個對象具有完備性,即它不需要添加任何其他元素,這個對象也可稱為完備的或完全的。

1簡介

完備性也稱完全性,可以從多個不同的角度來精確描述這個定義,同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中,「完備」也有不同的含義,特別是在某些領域中,「完備化」的過程並不稱為「完備化」,另有其他的表述,請參考代數閉域(algebraically closed field)、緊化(compactification)或哥德爾不完備定理。

2度量空間

一個度量空間或一致空間(uniform space)被稱為「完備的」,如果其中的任何柯西列都收斂(converges),請參看完備空間。
在泛函分析(functional analysis)中,一個拓撲向量空間(topological vector space)V的子集S被稱為是完全的,如果S的擴張(span)在V中是稠密的(dense)。如果V是可分拓撲空間(separable topology space),那麼也可以導出V中的任何向量都可以被寫成S中元素的(有限或無限的)線性組合。更特殊地,在希爾伯特空間(Hilbert space))中(或者略一般地,在線性內積空間(inner product space)中),一組標準正交基(orthonormal basis)就是一個完全而且正交的集合。

3測度空間

一個測度空間(measure space)是完全的,如果它的任何零測集(null set)的任何子集都是可測的。請查看完全測度空間(complete measure)。

4統計學

在統計學中,一個統計量(statistic)被稱為完全的,如果它不允許存在0的無偏估計量(estimator)。清查看完備統計量(complete statistic)。

5圖論

在圖論(graph theory)中,一個圖被稱為完全的(complete graph),如果這個圖是無向圖,並且任何兩個頂點之間都恰有一條邊連接。

6範疇論

在範疇論(category theory),一個範疇C被稱為完備的,如果任何一個從小範疇到C的函子(functor)都有極限(limit)。而它被稱為上完備的,如果任何函子都有一個上極限(colimit)。請查看範疇論中的極限定義。

7序理論

在序理論(order theory)和相關的領域中,如格(lattice)和疇(domain theory)中,全序性(completeness)一般是指對於偏序集(partially ordered set)存在某個特定的上確界(suprema)或下確界(infima)。值得特別注意的是,這個概念在特定的情況下也應用於完全布爾代數(complete Boolean algebra),完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。並且一個有序域(ordered field)被稱為完全的,如果它的任何在這個域中有上界的非空子集,都有一個在這個域中的最小上界(least upper bound);注意這個定義與序理論中的完全有界性(bounded complete)有細小的差別。在同構的意義下,有且僅有一個完全有序域,即實數。

8數理邏輯

在數理邏輯(en:mathematical logic中),一個理論(theory)被稱為完備的,如果對於其語言(language)中的任何一個句子(sentence)S,這個理論包括且僅包括S或S之逆。一個系統是兼容的,如果不存在同時P和非P的證明。哥德爾不完備定理證明了,包含皮亞諾公理(Peano axioms)的所有公理系統都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關於完備性的定義。
在證明論(proof theory)和相關的數理邏輯的領域中,一個形式的演算(calculus)相對於一個特定的邏輯(即相對於它的語義(semantics))是完備的,如果任何由一組前提Q根據語義導出的陳述P,都可以從這組前提出發利用這個演算語法地(syntactically)導出。形式地說,Q╞P導出Q|-P。一階邏輯(First-order logic)在這個意義下是完備的。特別的,所有邏輯的重言式(tautologies)都可以被證明。即使在經典邏輯中,這與前述的完備性是不同的(即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式)。相反的概念被稱為可靠性(soundness)。

9複雜度

在計算複雜度理論(computational complexity theory)中,一個問題P對於一個複雜度類C,在某個給定類型的歸約下是完全的(complete),如果P在C中,並且C中的任何問題利用該歸約都可以化歸到P。例如,NP完全問題(NP-complete)在NP(NP)類和多項式時間(polynomial-time)和多對一歸約的意義下是完全的。
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