標籤:點集拓撲學度量幾何

完備空間或者完備度量空間是具有下述性質的空間:空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。以有限維空間來說,向量的范數相當於向量的模的長度。但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念—向量的夾角,特別是兩個向量的正交。內積空間是特殊的線性賦范空間,在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念,從而在內積空間中建立起相應的幾何學。用內積導出的范數來定義距離,Banach空間就成為了希爾伯特空間。

1例子

有理數空間不是完備的,因為√2的有限位小數表示是一個柯西序列,但是其極限√2不在有理數空間內。實數空間是完備的開區間(0,1)不是完備的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收斂到任何(0, 1)中的點,令S為任一集合,SS中的所有序列,定義S上序列(xn)和(yn)的距離為1/N,其中若的最小索引存在則N為該索引否則N為0。按此方式定義的度量空間是完備的。該空間同胚於離散空間S的可數個副本的積。
在數學及其相關領域中,一個對象具有完備性,即它不需要添加任何其他元素,這個對象也可稱為完備的完全的。更精確地,可以從多個不同的角度來描述這個定義,同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中,「完備」也有不同的含義,特別是在某些領域中,「完備化」的過程並不稱為「完備化」,另有其他的表述,請參考代數閉域、緊化(compactification)或哥德爾不完備定理。

2直觀理解

直觀上講,一個空間完備就是指「沒有孔」且「不缺皮」,兩者都是某種「不缺點」。沒有孔是指內部不缺點,不缺皮是指邊界上不缺點。從這一點上講,一個空間完備同一個集合的閉包是類似的。這一類似還體現在以下定理中:完備空間的閉子集是完備的。

3相關定理

任一緊緻度量空間都是完備的。實際上,一個度量空間是緊緻的當且僅當該空間是完備且完全有界的。 完備空間的任一子空間是完備的當且僅當它是一個閉子集。 若X為一集合,M是一個完備度量空間,則所有從X映射到M的有界函數f的集合B(X,M)是一個完備度量空間,其中集合B(X,M)中的距離定義為: 若X為一拓撲空間,M是一個完備度量空間,則所有從X映射到M的連續有界函數f的集合Cb(X,M)是B(X,M)(按上一條目的定義)中的閉子集,因而也是完備的。貝爾綱定理:任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說,該空間的可數個無處稠密子集的並集無內點。

4完備化

構造
類似於從有理數域出發定義無理數的方法,我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。
M中的任意兩個柯西序列x=(xn) 和y=(yn),我們可以定義它們間的距離: d(x,y) = limnd(xn,yn)(實數域完備所以該極限存在)。按此方式定義的度量還只是偽度量,這是因為不同的柯西序列均可收斂到0。但我們可以象很多情況中所做的一樣(比如從L到),將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合,其中等價類是基於距離為0的關係(易於驗證該關係是等價關係)。這樣,令ξx= {yM上的柯西序列:},M'={ξx:x ∈ M},原空間M就以xξx的映射方式嵌入到新的完備度量空間M'中。易於驗證,M等距同構於M'的稠密子空間。
康托法構造實數是該完備化方法的一個特例:實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例;此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值,得到的完備空間則為p進數。
若將上述流程施於賦范向量空間,可得到一個巴拿赫空間,原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間,得到的則是希爾伯特空間,原空間依然是其稠密子空間。

5相關概念

完備與閉: 前面講,完備類似於閉,那麼,「完備」與「閉」的區別在何處呢?它們的區別在於,完備是空間或集合的性質,而閉是子集的性質。通常我們說某個集合是閉集或開集,實際上是指該集合是R或某個拓撲空間的閉子集或開子集。例如,開區間(0, 1)是全集(0, 1)或的閉子集,因為(0, 1)在這兩個全集中的導集是其自身。但(0, 1)是R的開子集。閉子集可以用收斂序列定義,因為收斂序列的極限點總是在全集中的,極限點在子集中與否決定該子集是否為閉子集。與此相對,完備性的定義中沒有全集的概念,這也是為什麼在其定義中必須用柯西序列而不能用收斂序列,因為在收斂序列的定義中必有極限點,若該極限點不在度量空間中,則收斂序列中的點到該極限點距離是未定義的。

6參見

數學分析術語

7[1]引用

Eidelmann, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis (2004).Functional Analysis An Introduction. American Mathematical Society. ISBN 0-8218k-3646-3. 張恭慶,林源渠,泛函分析講義(1987) 北京大學出版社,ISBN 7-301-00489-3/O.097

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