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完全平方即用一個整數乘以自己例如1*1,2*2,3*3等等,依此類推

1性質推論

例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:
性質1:末位數只能是0,1,4,5,6,9。
(此為完全平方數的必要不充分條件,且定義為「一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數」,0為整數,故0是完全平方數)
性質2:奇數的平方的個位數字一定是奇數,偶數的平方的個位數一定是偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一:
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分別平方后,得
(10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a^2+5+1)+5
(10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a^2+7+2)+9
(10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a^2+9+4)+1
綜上各種情形可知:奇數的平方,個位數字為奇數1,5,9;十位數字為偶數。
性質3:如果十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之也成立
證明 已知m^2=10k+6,證明k為奇數。因為k的個位數為6,所以m的個位數為4或6,於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6
即 k=10n^2+8n+1=2(5n^2+4n)+1
或 k=10n^2+12n+3=2(5n^2+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1:如果一個數的十位數字是奇數,而個位數字不是6,那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6,則它的十位數字是偶數。
性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1
這是因為 (2k+1)^2=4k(k+1)+1
(2k)^2=4k^2
性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中,由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)^2是8n+1型的數;由為奇數或偶數可得(2k)^2為8n型或8n+4型的數。
性質6:形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類:3m,3m+1,3m+2。平方后,分別得
(3m)^2=9m^2=3k
(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1
(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性質7:不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型,是5的因數或倍數的數為5k型。
性質8:形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數,十位數和餘數的性質之外,還可研究完全平方數各位數字之和。例如,256它的各位數字相加為2+5+6=13,13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加,如果得到的數字之和不是一位數,就把所得的數字再相加,直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題:
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為,則
1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=
完全平方數

  完全平方數

9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然,a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數,也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質:
性質9:數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4這幾種形式,而
(9k)^2=9(9k^2)+0
(9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1
(9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4
(9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9
(9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外,還有下列重要性質:
性質10:為完全平方數的充分必要條件是b為完全平方數。
證明 充分性:設b為平方數,則=(ac)
必要性:若為完全平方數,=,則
性質11:如果質數p能整除a,但p的平方不能整除a,則a不是完全平方數。
證明 由題設可知,a有質因數p,但無因數,可知a分解成標準式時,p的次方為1,而完全平方數分解成標準式時,各質因數的次方均為偶數,可見a不是完全平方數。
性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。
即若n^2 < k^2 < (n+1)^2
則k一定不是整數。
性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

2重要結論

⒈個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數;
⒉個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數;
⒊個位數是6,十位數是偶數的整數一定不是完全平方數;
⒋形如3n+2型的整數一定不是完全平方數;
⒌形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數;
⒍形如5n±2型的整數一定不是完全平方數;
⒎形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數;
⒏數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
⒐四平方和定理:每個正整數均可表示為4個整數的平方和
10.完全平方數的因數個數一定是奇數。

3兩者區別

平方式和完全平方數的區別
(a+b)的平方=a的平方+2ab+b的平方
(a-b)的平方=a的平方-2ab+b的平方
完全平方式分兩種,一種是完全平方和公式,就是兩個整式的和括弧外的平方。另一種是完全平方差公式,就是兩個整式的差括弧外的平方。算時有一個口訣「首末兩項算平方,首末項乘積的2倍中間放,符號隨中央。(就是把兩項的乘方分別算出來,再算出兩項的乘積,再乘以2,然後把這個數放在兩數的乘方的中間,這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,後邊的符號都用+)」
一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。
區別:完全平方式是代數式,完全平方數是自然數。

4範例

例2]
求證:四個連續的整數的積加上1,等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。
解:設四個連續整數分別為n-1、n、n+1、n+2.
這時,
(n-1)n(n+1)(n+2)+1
=n^4+2n^3+n^2-2n+1…①
易知該式可被分解為兩個二次因式的乘積,設為(an^2+bn+c)(dn^2+en+f)
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1,解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解為(n^2+n-1)^2=[n(n+1)-1]^2,因為n與n+1是連續兩個整數,故n(n+1)為偶數,所以[n(n+1)-1]為奇數,即(n-1)n(n+1)(n+2)+1為一個奇數的平方。
例4]
用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數?
解:設由300個2和若干個0組成的數為A,則其數字和為600
3|600 ∴3|A
此數有3的因數,故9|A。但9|600,∴矛盾。故不可能有完全平方數。
例6]
求滿足下列條件的所有自然數:
⑴它是四位數。
⑵被22除餘數為5。
⑶它是完全平方數。
解:設,其中n,N為自然數,可知N為奇數。
11|N - 5或11|N + 6
n = 1 不合
n = 2 1369
n = 3 3481 2601
n = 4 6561 5329
n = 5 9025
所以此自然數為1369,2601,3481,5329,6561,9025。
例8]
求一個四位數,使它等於它的四個數字和的四次方,並證明此數是唯一的。

5討論題

⒈(1986年第27屆IMO試題) 設正整數d不等於2,5,13,求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方數。
⒉求k的最大值,使得可以表示為k個連續正整數之和。
⒊某校2001年的學生人數是個完全平方數。該校2002年的學生人數比上一年多101人,這個數字也是完全平方數。該校2002年學生人數是多少?
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