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1 定比分點 -定義


  直線L上兩點P、O,它們的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),在直線L上一個不同於P, O的任一點M使PM/MO等於已知常數λ。即PM/MO=λ,我們就把M叫做有向線段PO的定比分點。 若設M的坐標為(x,y),則x=(x1+λx2)/(1+λ) ,y=(y1+λy2)/(1+λ)

2 定比分點 -定比分點相關概念

  1.線段的定比分點及λ:   P1,P2是直線L上的兩點,P是L上不同於P1, P2的任一點,存在實數λ,使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做點P分P1P2所成的比。  P點位置與λ的關係
以P1P2中點為原點,x軸表示P相對P1 P2的位置,y軸表示λ的取值   根據右圖,從左往右看,λ 的取值有以下五種情況   ①P在P1左邊(P在向量P1P2反向延長線上),λ∈(-1,0)   ②P與P1重合,λ=0   ③P在P1與P2之間(P在向量P1P2上),λ∈(0,+∞)   *i. P在P1與原點之間,即P1PPP2,λ∈(1,+∞)   ④P與P2重合,λ∈Φ   ⑤P在P2右邊(P在向量P1P2正向延長線上),λ∈(-∞,-1)   還有λ永遠不等於-1   2 定比分點公式:   若設點P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ為實數,且向量P1P=λ向量PP2   即 P1P=λPP2   由向量的坐標運算,得P1P=(x-x1,y-y1) ,PP2=(x2-x, y2-y)   ∴ (x-x1,y-y1)=λ(x2-x, y2-y)   ∴ 定比分點公式為,   λ=(x-x1)/(x2-x)   λ=(y-y1)/(y2-y)   3.定比分點坐標公式:   ∵λ=(x-x1)/(x2-x)   ∴λx2-λx=x-x1   λx2+x1=λx+x   得,x=(λx2+x1)/(λ+1)   同理,y=(λy2+y1)/(λ+1)   註:當λ=1時,即中點坐標公式。
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