標籤: 暫無標籤

定積分是微積分的重要概念。德國數學家黎曼首先給予嚴格表述故又稱「黎曼積分」。

1 定積分 -概念

定積分

定積分定積分
是一個和式的極限:把區間[a,b]分成n個小區間
定積分定積分
,…,
定積分定積分
,…,
定積分定積分
,然後在每個小區間
定積分定積分
上任取一點
定積分定積分
,作和式
定積分定積分
;令
定積分定積分
,如果當
定積分定積分
時,如果和式的極限
定積分定積分
存在,則稱這個極限值為函數
定積分定積分
上的定積分。

定積分定積分
,因此任何能寫成上述和式極限的式子都能用定積分來表示。關鍵是確定被積函數
定積分定積分
 以及積分變數x。

2 定積分 -幾何意義

定積分

定積分定積分
的幾何意義為:它是介於x軸,函數
定積分定積分
的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的各部分面積的代數和。若曲線
定積分定積分
與直線x=a,x=b,y=0,所圍成的曲邊梯形的面積為A,則

(1)當

定積分定積分
時,
定積分定積分

(2)當

定積分定積分
時,
定積分定積分

(3)當

定積分定積分
在[a,b]上有時取正值,有時取負值時,
定積分定積分
定積分定積分

3 定積分 -基本運算

1.用定積分定義計算定積分
步驟:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限
2.比較定積分大小

根據性質:如果在區間[a,b]上,恆有

定積分定積分
,則
定積分定積分

因此,關鍵是比較被積函數的大小。

3.估計定積分的值

根據性質:如果m和M分別是

定積分定積分
在區間[a,b]上,上最小值和最大值,則
定積分定積分
。因此,關鍵是找出被積函數在積分區間的最小值和最大值。

4 定積分 -基本性質

規定 (1) 當a=b時,

定積分定積分

         (2) 當a>b時,

定積分定積分

性質1   函數的和(差)的定積分等於它們的定積分的和(差)。即

定積分定積分

性質2    被積函數的常數因子可以提到積分符號外。即

定積分定積分
(k為常數)

性質3 定積分的區間可加性

若a

定積分定積分

性質4

定積分定積分

因f(x)≡1,所以

定積分定積分

性質5    若在區間[a,b]上,

定積分定積分
定積分定積分

性質6     設M及m分別是

定積分定積分
在[a,b]上的最大值及最小值,則
定積分定積分

5 定積分 -牛頓—萊布尼茨公式

若函數

定積分定積分
在[a,b]連續,且F(x)為
定積分定積分
在區間[a,b]的原函數,則
定積分定積分

由微分中值定理:

定積分定積分
,使得
定積分定積分
定積分定積分
幾何意義:
定積分定積分
在[a,b]上連續。存在一點
定積分定積分
,使曲邊梯形的面積
定積分定積分
與矩形面積
定積分定積分
相等。

由積分第一中值定理:若

定積分定積分
在[a,b]上連續,則
定積分定積分
在[a,b]可取到其在[a,b]的平均值。

6 定積分 -換元法與分部積分法

定積分的換元法
設函數f(x)在區間[a,b]上連續;函數g(t)在區間[m,n]上是單值的且有連續導數;當t在區間[m,n]上變化時,x=g(t)的值在[a,b]上變化,且g(m)=a,g(n)=b;則有定積分的換元公式:

定積分定積分

定積分的分部積分法

設u(x)、v(x)在區間[a,b]上具有連續導數u'(x)、v'(x),則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分,並移向得:

定積分定積分

上式即為定積分的分部積分公式。

7 定積分 -廣義積分

在一些實際問題中,常遇到積分區間為無窮區間,或者被積函數在積分區間上具有無窮間斷點的積分,它們已不屬於定積分了。為此對定積分加以推廣,也就是———廣義積分。

一:積分區間為無窮區間的廣義積分
設函數f(x)在區間[a,+∞)上連續,取b>a.如果極限

定積分定積分
存在,則此極限叫做函數f(x)在無窮區間[a,+∞)上的廣義積分,記作:
定積分定積分
即:
定積分定積分
定積分定積分

此時也就是說廣義積分

定積分定積分
收斂。如果上述即先不存在,則說廣義積分
定積分定積分
發散,此時雖然用同樣的記號,但它已不表示數值了。
類似地,設函數f(x)在區間(-∞,b]上連續,取a<b.如果極限
定積分定積分
存在,
則此極限叫做函數f(x)在無窮區間(-∞,b]上的廣義積分,記作:
定積分定積分
即:
定積分定積分
定積分定積分

此時也就是說廣義積分

定積分定積分
收斂。如果上述極限不存在,就說廣義積分
定積分定積分
發散。
如果廣義積分
定積分定積分
定積分定積分
都收斂,則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮區間(-∞,+∞)上的廣義積分,記作:
定積分定積分
即:
定積分定積分
定積分定積分

述廣義積分統稱積分區間為無窮的廣義積分。
二:積分區間有無窮間斷點的廣義積分

設函數f(x)在(a,b]上連續,而

定積分定積分
.取ε>0,如果極限
定積分定積分
存在,則極限叫做函數f(x)在(a,b]上的廣義積分,仍然記作:
定積分定積分
即:
定積分定積分
定積分定積分
,這時也說廣義積分
定積分定積分
收斂。如果上述極限不存在,就說廣義積分
定積分定積分
發散。類似地,設f(x)在[a,b)上連續,而
定積分定積分
。取ε>0,如果極限
定積分定積分
存在,則定義
定積分定積分
=
定積分定積分
;否則就說廣義積分
定積分定積分
發散。
又,設f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外連續,而
定積分定積分
,如果兩個廣義積分
定積分定積分
定積分定積分
都收斂,則定義:
定積分定積分
定積分定積分
定積分定積分
。否則就說廣義積分
定積分定積分
發散。

相關評論

同義詞:暫無同義詞