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在計數時,為了使重疊部分不被重複計算,人們研究出一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含於某內容中的所有對象的數目先計算出來,然後再把計數時重複計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為容斥原理。

容斥原理 

1 容斥原理 -詳細信息

                        容斥原理(1)
                        如果被計數的事物有A、B兩類,那麼,A類或B類元素個數= A類元素個數+
                        B類元素個數—既是A類又是B類的元素個數。
                        例1  
                        一次期末考試,某班有15人數學得滿分,有12人語文得滿分,並且有4人語、數都是滿分,那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人?
                        分析:依題意,被計數的事物有語、數得滿分兩類,「數學得滿分」稱為「A類元素」,「語文得滿分」稱為「B類元素」,「語、數都是滿分」稱為「既是A類又是B類的元素」,「至少有一門得滿分的同學」稱為「A類或B類元素個數」的總和。
                        試一試:某班學生每人家裡至少有空調和電腦兩種電器中的一種,已知家中有空調的有41人,有電腦的有34人,二者都有的有27人,這個班有學生多少人?(並說一說你的想法。)
                        容斥原理(2)
                        如果被計數的事物有A、B、C三類,那麼,A類或B類或C類元素個數= A類元素個數+
                        B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。
                        例2某校六(1)班有學生54人,每人在暑假裡都參加體育訓練隊,其中參加足球隊的有25人,參加排球隊的有22人,參加游泳隊的有34人,足球、排球都參加的有12人,足球、游泳都參加的有18人,排球、游泳都參加的有14人,問:三項都參加的有多少人?
                        分析:仿照例1的分析,你能先說一說嗎?
                        例3 在1到1000的自然數中,能被3或5整除的數共有多少個?不能被3或5整除的數共有多少個?
                        分析:顯然,這是一個重複計數問題(當然,如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數,5的倍數)。我們可以把「能被3或5整除的數」分別看成A類元素和B類元素,能「同時被3或5整除的數(15的倍數)」就是被重複計算的數,即「既是A類又是B類的元素」。求的是「A類或B類元素個數」。現在我們還不能直接計算,必須先求出所需條件。1000÷3=333……1,能被3整除的數有333個(想一想,這是為什麼?)同理,可以求出其他的條件。
                        例4  分母是1001的最簡分數一共有多少個?
                        分析:這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由於1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的數。
                         例5   
                        某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后,有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀,其餘每人至少有一項達到了優秀,達到了優秀的這部分學生情況如下表:
                              短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短路、游泳、投擲
                              1718156652

                        求這個班的學生共有多少人?
                        分析:這個班的學生數,應包括達到優秀和沒有達到優秀的。
                        試一試:一個班有42人,參加合唱隊的有30人,參加美術組的有25人,有5人什麼都沒有參加,求兩種都參加的有多少人?
                        例6   
                        在一根長的木棍上有三種刻度線,第一種刻度線將木棍分成10等份,第二種將木棍分成12等份,第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷,木棍總共被鋸成多少段?
                        分析:很顯然,要計算木棍被鋸成多少段,只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線,在此基礎上加1就是段數了。
                        若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開,木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線,顯然刻度線有重複的,如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線,也是如此。所以,我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢?想一想,被計數的事物有那幾類?每一類的元素個數是多少?

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