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包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數,有理數就包括整數和分數。數學上,實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。本來實數僅稱作數,後來引入了虛數概念,原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。

數學名詞。有理數和無理數的總稱。而無理數則不然,從它的發現到它的嚴格定義,是曲折而漫長的。所以研究實數理論主要是研究無理數理論。

實數相關資料

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基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等,對非負數(即正數和0)還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方后結果還是實數。任何實數都可以開奇次方,結果仍是實數,只有非負實數,才能開偶次方其結果還是實數。

圖冊

圖冊
實數集有序性
實數集是有序的,即任意兩個實數a、b必定滿足下列三個關係之一:a<b,a=b,a>b.
實數的阿基米德性
實數具有阿基米德(Archimedes)性,即對任何a,b ∈R,若b>a>0,則存在正整數n,使得na>b.
實數唯一性
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點,指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規定為正方向),並規定一個單位長度,則稱此直線為數軸任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之,數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是,實數集R與數軸上的點有著一一對應的關係。
完備性
作為度量空間或一致空間,實數集合是個完備空間,它有以下性質:
所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
有理數集合就不是完備空間。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列,但沒有有理數極限。實際上,它有個實數極限 √2。實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。
高級性質
實數集是不可數的,也就是說,實數的個數嚴格多於自然數的個數(儘管兩者都是無窮大)。這一點,可以通過康托爾對角線方法證明。實際上,實數集的勢為 2ω(請參見連續統的勢),即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數,絕大多數實數是超越數。實數集的子集中,不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合,這就是連續統假設。該假設不能被證明是否正確,這是因為它和集合論的公理不相關。
所有非負實數的平方根屬於 R,但這對負數不成立。這表明 R 上的序是由其代數結構確定的。而且,所有奇數次多項式至少有一個根屬於 R。這兩個性質使 R成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
實數集擁有一個規範的測度,即勒貝格測度。
實數集的上確界公理用到了實數集的子集,這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集:1. L&ouml;wenheim-Skolem定理說明,存在一個實數集的可數稠密子集,它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題;2. 超實數的集合遠遠大於 R,但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容,在非標準模型中證明一階邏輯命題(可能比在 R 中證明要簡單一些),從而確定這些命題在 R 中也成立。

拓撲性質

實數集構成一個度量空間:x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集,它也具有序拓撲。這裡,從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、局部緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以通過特定的性質來確定,例如,無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽:
令 a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
R 是可分空間。
Q 在 R 中處處稠密。
R的開集是開區間的聯集。
R的緊子集是有界閉集。特別是:所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個R中的有界序列都有收斂子序列。
R是連通且單連通的。
R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速導出中間值定理。

1擴展與一般化

實數集可以在幾種不同的方面進行擴展和一般化:
最自然的擴展可能就是複數了。複數集包含了所有多項式的根。但是,複數集不是一個有序域。
實數集擴展的有序域是超實數的集合,包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德域。
有時候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數集,構成擴展的實數軸。它是一個緊緻空間,而不是一個域,但它保留了許多實數的性質。
正因如此,畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念,這裡的數是指自然數(1 , 2 , 3 ...),而由自然數的比就得到所有正有理數,而有理數集存在「縫隙」這一事實,對當時很多數學家來說可謂極大的打擊;見第一次數學危機。
從古希臘一直到十七世紀,數學家們才慢慢接受無理數的存在,並把它和有理數平等地看作數;後來有虛數概念的引入,為加以區別而稱作「實數」,意即「實在的數」。在當時,儘管虛數已經出現並廣為使用,實數的嚴格定義卻仍然是個難題,以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後,才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。
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