1實數

實數,是一種能和數軸上的點一一對應的數。本來實數只叫作「數」,後來引入的虛數概念,數系擴充到複數系,原本的數便稱作「實數」,意義是「實在的數」。
實數可以分為有理數和無理數兩類,或代數數和超越數兩類,或正數,負數和零。實數集通常用字母R表示。而用 Rn 來代表 n維實數空間n-dimensional real space)。
實數是可以用來測量連續的量的。實數的個數是無窮的。理論上,任何實數都可以用無限小數的方式表示,小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是循環的,也可以是非循環的)。在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點后n位,n為正整數)。在計算機領域,由於計算機只能存儲有限的小數位數,實數經常用浮點數floating point numbe

2歷史

埃及人早在公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右,以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們就意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數,中國也曾發明負數,但稍晚於印度。在1871年,德國數學家康托爾最早地全面地給出了實數的定義。
公理系統
設 R 是所有實數的集合,則:
集合 R 是一個體:可以作加、減、乘、除、乘方運算,且有如交換律,結合律等運算律。
集合 R 是有序的:設 x, y  z∈R,則:
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0.
集合 R 是完整的:設 R 的一個非空的子集S,如果S在R內有上限,那麼S在R內有最小上限。
最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如:所有平方小於2的有理數的集合存在有理數上限, 但是不存在有理數最小上限(√2)。
實數是唯一適合以上特性的集合:亦即如有兩個如此集合,則兩者之間必存在代數學上所稱的域同構,即代數學上兩者可看作是相同的。

3實數域的特性

有序性
對於任意a,b  ∈R,必滿足下述三個關係之一:
(i)   a<b
(ii)  a=b
(iii) a>b
完備性
①所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
②有理數集並非拓撲完備,例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理數的柯西序列卻沒有有理數極限。但它卻有個實數極限 √2。實數集是有理數集的空備化——這亦是其中一個構作實數集的方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里得幾何的直線沒有「空隙」。

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