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數學上,實數軸就是實數的集合 R。然而,這一術語通常在 R 被當作某種空間(諸如拓撲空間,向量空間)的時候使用。儘管至少早在古希臘時代,人們就開始研究實數線,但直到1872年,它才被嚴格地定義。而自始至終,它一直是在數學的許多分支中扮演重要角色的實例。
定義
實數線具有一個標準拓撲,它可以通過兩種等價的方法引入。
第一,實數滿足全序關係,它們具有序拓撲。
第二,實數能夠通過絕對值 d(x,y): = | y − x | 的度量轉換到度量空間。這一度量給出 R 上等價於序拓撲的拓撲。
作為拓撲空間,實數線是個 1 維的拓撲流形。
它既是可縮空間、局部緊緻空間,也是仿緊緻空間、第二可數空間。 它還具有標準可微結構,使它成為可微流形。 (由於可微同構,該拓撲空間只支持一個可微結構。) 事實上,R 是歷史上研究這些數學結構的第一個實例,它啟示了現代數學這些分支。 (實際上,上述這些術語中的其中一些在沒有 R 的情況下甚至不能被定義。)
作為向量空間,實數線是實數域 R(即其自身)上的 1 維向量空間
它具有標準內積,使它成為歐幾里德空間。 (這個內積就是普通的實數的乘法。) 作為向量空間,它並不引起注意。實際上是 2 維歐幾里德空間首先被作為向量空間進行研究的。 然而,仍然可以說,由於向量空間首先是在 R 上進行研究的,它啟示了線性代數。
R 也是環,甚至是域的主要實例。
實數完備域實際上是第一個被研究的域,所以它也啟示了抽象代數。 然而,在純代數文獻中,R 幾乎不被稱為「線」。
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