1向量

設單位向量e是直線m的方向向量,向量AB=a,作點A在直線m上的射影A',作點B在直線m上的射影B',則向量A'B'叫做AB在直線m上或在向量e方向上的正射影,簡稱射影。向量A'B'的模∣A'B'∣=∣AB∣·∣cos〈a,e〉∣=∣a·e∣。
註:射影是幾何里的用語,而射影幾何是研究圖形的射影性質,即它們經過射影變換不變的性質。一度也叫做投影幾何學,在經典幾何學中,射影幾何處於一種特殊的地位,通過它可以把其他一些幾何聯繫起來。
射影幾何的某些內容在公元前就已經發現了,基於繪圖學和建築學的需要,古希臘幾何學家就開始研究透視法,也就是投影和截影。但直到十九世紀才形成獨立體系,趨於完備。
1822年法國數學家彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。
射影幾何學在航空、測量、繪圖、攝影等方面有廣泛的應用。
附:正射影的數量又稱正投影

2直線

定義1:自點P向直線a引垂線所得到的垂足Q叫做點P在直線a上的射影。
平面中,過一點(直線上或直線外)有且只有一條直線與已知直線垂直,其垂足唯一,故點在直線上的射影唯一,定義合理。

3平面

定義2:自點P向平面α引垂線所得到的垂足Q叫做點P在平面α上的射影
空間中,過一點(平面上或平面外)有且只有一條直線與已知平面垂直,其垂足唯一,故點在平面上的射影唯一,定義合理。
三垂線定理:平面內的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直,那麼它也和這條斜線垂直。

4圖形

定義3:如果圖形F上的所有點在一平面上的射影構成的圖形F' ,則 F' 叫做圖形F在這個平面上的射影。
由定義1與定義2的說明可知,圖形在平面上的射影是唯一的。
特別地,直線在平面上的射影的情況:
情況1:直線平行於平面,
任取直線上兩點,分別做平面垂線,連接平面內兩個垂足,連成的直線就是直線在平面上的射影 。
情況2:直線與平面斜交
任取直線上平面外一點,做平面垂線,連接垂足和斜足所得到的直線,就是直線在平面上的射影。
情況3:直線與平面垂直
此時直線上的點在平面上的射影都是同一點——垂足,故垂足就是直線在平面上的射影。
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