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對稱 英文:symmetry ,指圖形或物體兩對的兩邊的各部分,在大小、形狀和排列上具有一一對應的關係

詞目:對稱性
英文:Symmetry
註釋:是一個跨學科概念,與守恆性是一一對應關係。稱狹義定義為:一個物體包含若干等同部分,對應部分相等。

1 對稱 -對稱性與守恆性

艾米·諾特(EmmyNoether, 1882-1935)、抽象代數奠基人艾米·諾特(EmmyNoether, 1882-1935)、抽象代數奠基人

1918 年德國數學家艾米·諾特(A·E·Noether)提出著名諾特定理(Noether theorem):作用量的每一種對稱性都對應一個守恆定律,有一個守恆量。從而將對稱和守恆性這兩個概念是緊密地聯繫在一起的。因為諾特是女性,哥廷根大學卻不准她開課;希伯特(David Hilbert,1862-1943)聞之拍案而起:「大學又不是澡堂子,為什麼男女有別?!」最後還是以希伯特名義開課,由諾特代授。愛因斯坦曾在《紐約時報》撰文文中說:「諾特女士是自婦女受到高等教育以來最重要的最富於創造性的天才」。

 

 

 

 

 

 

     物理定律的對稱性也意味著物理定律在各種變換條件下的不變性。由物理定律的不變性,我們可以得到一種不變的物理量,叫守恆量,或叫不變數。比如空間旋轉對稱,它的角動量必定是守恆的;空間平移對稱對應於動量守恆,電荷共軛對稱對應於電量守恆,如此等等。愛因斯坦就是當年思考這個問題時,提出「在慣性參考系變換操作下,物理規律保持不變」,這個就是狹義相對性原理。進一步推廣為:在任意參考系變換操作下,物理規律保持不變,這個就是廣義相對性原理。
      諾特定理告訴我們,一個沒有對稱性的世界,物理定律也變動不定。因此物理學家們已經形成一種思維定式:只要發現了一種新的對稱性,就要去尋找相應的守恆定律;反之,只要發現了一條守恆定律,也總要把相應的對稱性找出來。
1926 年,維格納(E.Wigner)提出了宇稱守恆(Parity conservation)定律,就是把對稱和守恆定律的關係進一步推廣到微觀世界。由宏觀走向微觀必然會展現事物的差異性,所以對稱性破缺不可避免,而人們往往忽略這個問題。在微觀世界里,基本粒子有三個基本的對稱方式:一個是粒子和反粒子互相對稱,即對於粒子和反粒子,定律是相同的,這被稱為電荷(C)對稱;一個是空間反射對稱,即同一種粒子之間互為鏡像,它們的運動規律是相同的,這叫宇稱(P);一個是時間反演對稱,即如果我們顛倒粒子的運動方向,粒子的運動是相同的,這被稱為時間(T)對稱。如果物質最基本層面的對稱能夠成立,那麼對稱就是物質的根本屬性,所以弱力環境中 的宇稱守恆雖然未經驗證,也理所當然地被當時認為遵循宇稱守恆規律。
       1956 年,兩位美籍華裔物理學家— — 李政道和楊振寧大膽提出宇稱不守恆從而解決「θ-τ之謎」,並因此獲得了諾貝爾獎。諾貝爾獎給他們帶來無限榮譽的同時也逐漸使兩人的關係走向分裂,從此再未合作過⋯⋯。
       2004 年楊振寧又用自己的婚姻證明了宏觀世界婚姻年齡的「對稱性破缺」。自從宇稱守恆定律被李政道和楊振寧打破后,科學家很快又發現,粒子和反粒子的行為也並不是完全一樣的,存在輕微不對稱,這導致宇宙大爆炸之初生成的物質比反物質略多了一點點,大部分物質與反物質湮滅了,剩餘的物質才形成了我們今天所認識的世界。1998 年歐洲原子能研究中心的科研人員發現,正負K 介子在轉換過程中存在時間上的不對稱性。至此,粒子世界的物理規律的對稱性全部破碎了。

2 對稱 -數學中的對稱

對稱狹義定義為:一個物體包含若干等同部分,對應部分相等。不改變物體內部任何兩點間的距離而使物體復原的操作,稱為對稱性操作,物理學中也稱反演操作。對稱性操作主要有:旋轉、反映、反演、象轉、反轉;旋轉和反映是基本對稱操作。完成對稱操作的幾何元素稱為對稱元素,包括:旋轉軸, 鏡面,對稱中心,映軸,反軸;對稱軸和對稱面是基本的對稱元素。

1. 旋轉操作和對稱軸
  旋轉操作是將分子繞通過其中心的軸旋轉一定的角度使分子復原的操作,旋轉所依據的對稱元素為旋轉軸。n 次旋轉軸的記號為Cn,使物體復原的最小旋轉角(0 度除外)稱為基轉角(α)稱為基轉角α,對Cn 軸的基轉角α= 360°/n 旋轉角度按逆時針方向計算。和Cn 軸相應的基本旋轉操作為Ĉn 1(表示操作時,元素符號頭上加個^,也很多有參考書上不加^也行),它為繞軸轉360°/n 的操作。分子中若有多個旋轉軸,軸次最高的軸一般叫主軸。
一次軸Ĉ1 的操作是個復原操作,又稱為主操作或可復原操作Ê。因為任何物體在任何一方向上繞軸轉360°/n 均可復原,它和乘法中的1 相似。C2軸的基轉角是180 度,基本操作是,連續進行兩次相當於主操作: Ĉ2 1×Ĉ22= Ĉ22=Ê;C3軸的基轉角是120 度,C4軸的基轉角是90 度,C6軸的基轉角是60 度。n=2,3,4,6 分別成為二度,三度,四度,六度轉軸。

2.對稱中心和反演操作
  當分子有對稱中心時,從分子中任意一原子至對稱中心連一直線,將次線延長,必可在和對稱中心等距離的另一側找到另一相同原子,即每一點都關於中心對稱。依據對稱中心進行的對稱操作為反演操作,是按照對稱中心反演,記為i;n為偶數時in=E,n為奇數時in=i

3.反映操作和鏡面對稱
  鏡面是平分分子的平面,在分子中除位於經面上的原子外,其他成對地排在鏡面兩側,它們通過反映操作可以復原。反映操作是每一點都關於鏡面對稱,記為σ;n為偶數時σn=E,n為奇數時σn=σ。和主軸垂直的鏡面以σh表示;通過主軸的鏡面以σv表示;通過主軸,平分副軸夾角的鏡面以σd 表示。

4.反軸和旋轉反演操作
  反軸In的基本操作為繞軸轉360°/n,接著按軸上的中心點進行反演,它是C1n和i相繼進行的聯合操作:I1n=iC1n; 繞In軸轉360°/n,接著按中心反演。

5.映軸和選擇反映操作
  映軸Sn的基本操作為繞軸轉360°/n,接著按垂直於軸的平面進行反映,是C1n和σ相繼進行的聯合操作: S1n=σC1n;繞Sn軸轉360°/n,接著按垂直於軸的平面反映。

 

3 對稱 -對稱群

無法區別上下腳標理解起來比較麻煩

群的基本概念
     一個分子具有的全部對稱元素構成一個完整的對稱元素系,和該對稱元素系對應的全部對稱操作形成一個對稱操作群,群是按照一定規律相互聯繫著的一些元(又稱元素)的集合,這些元可以是操作、數字、矩陣或算符等。連續做兩個對稱操作即和這兩個元的乘法對應。 若對稱操作A,B,C,… 的集合G={A,B,C,… }同時滿足下列四個條件,這時G 形成一個群。
(1)封閉性:指A 和B 若為同一群G 中的對稱操作,則AB=C, C 也是群G 中的一個對稱操
作。
(2)主操作:在每個群G 中必有一個主操作E,它與群中任何一個操作相乘給出AE=EA=A
(3)逆操作:群G 中的每一個操作A 均存在逆操作A-1,A-1 也是該群中的一個操作。逆操作
是按原操作途徑退回去的操作。AA-1=A-1A=E

 

分子點群及分類

在分子中,原子固定在其平衡位置上,其空間排列是對稱的圖象,利用對稱性原理探討分子的結構和性質,是人們認識分子的結構和 性質的重要方法。分子對稱性是聯繫分子結構和分子性質的重要橋樑。分子點群大致可分為幾類:Cn 、Cnv、CNH 、Dn、Dnh、Dnd 及高階群。

 

一些Cn 點群的分子,在化學不對稱合成中很多配體都是C2 點群,一些Cn 點群的分子,在化學不對稱合成中很多配體都是C2 點群,

 

 


1.Cn 點群

Cn 群只有1 個Cn 旋轉軸。獨立對稱操作有n 個,階 次為n。若分子只有n 重旋轉軸,它就屬於Cn 群,群元素為{E,Cn,Cn 2… Cnn-1}。這是n 階循環群。最簡單的點群C1 只含一個主操作E, 它包括所有不對稱分子和分子構型,所以這類分子都有手性。比如:CH3CH2CHBrCH3,葡萄糖等。

 

 

 

 

2.Cnh 點群

對稱Cnh點群分子

Cnh 群中有1 個Cn 軸,垂直於此軸有1 個σh 。階次為2n。C1h 點群用Cs 記號。若分子有一個n 重旋轉軸和一個垂直於軸 的水平對稱面就得到Cnh 群,它有2n 個對稱操作,{E,Cn,CN2… … Cnn-1,σn,Sn2… … Snn-1}包括(n-1)個旋轉、一個反映面, 及旋轉與反映結合的(n-1)個映轉操作。當n 為偶次軸時,S2nn 即為對稱中心。

 

對稱反式二氯乙烯

 

 

以反式二氯乙烯分子說明C2h 點群, C=C 鍵中點存在垂直於分子平面的C2 旋轉軸;分子所在平面即為水平對稱面σh;C=C 鍵中點還是分子的對稱中心i。 所以C2h 點群的對稱操作有四個:{E,C2,σh,i},若分子中有偶次旋轉軸及垂直於該軸的水平平面,就會產生一個對稱中心。

 

 

 

3.Cnv 點群

Cnv 點群分子示例Cnv 點群分子示例

 

Cnv 群中有1 個Cn 軸,通過此軸有n 個σv 。階次為2n。若分子有 n 重旋轉軸和通過Cn 軸的對稱面σ,就生成一個Cnv 群。由於Cn 軸的存在,有一個對稱面,必然產生(n-1)個對稱面。兩個平面交角為π/n。它也是2n 階群。

 

 

C2 點群的H2O 分子C2 點群的H2O 分子

 

水分子屬C2v 點群,C2 軸經過O 原子、平分∠HOH,分子所在平面是一個σv 平面,另一個σv 平面經過O 原子且與分子平面相互垂直。與水分子類似的V 型分子,如SO2、NO2、ClO2、H2S, 船式環已烷、N2H4 等均屬C2v 點群。其它構型的C2v 分子如稠環化合物菲(C14H10),茚,雜環化合物呋喃(C4H4O)吡啶 (C5H5N)等。NH3 分子是C3v 點群典型例子。C3 軸穿過N 原子和三角錐的底心, 三個垂面各包括一個N-H 鍵。其它三角錐型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、 CHCl3 等,均屬C3v 點群,P4S3 亦屬C3v 點群。CO 分子是C∞v 點群典型例子。 C∞v 軸穿過了C 原子和O 原子所在的直線,任何一個經過C 原子和O 原子所在的面都是其σv 平面。

 

 

 

4.Sn 和Cni 點群

    

Cs,Ci,S4,S6 點群示例,Cs 群多維芳香族化合物;Ci 點群多為內消旋化合物Cs,Ci,S4,S6 點群示例,Cs 群多維芳香族化合物;Ci 點群多為內消旋化合物

 分子中有1 個In 軸,當n 為奇數時,屬Cni 群;當n 為偶數但不為4 的整數倍時,屬Cn/2h 點群;當n 為4 的整數倍時,屬Sn 點群。分子中只含有一個映轉軸Sn 的點群屬於這一類。映轉軸所對應的操作的繞 軸轉2π/n,接著對垂直於軸的平面進行反映。

 
   S1=Cs 群: S1=σ、C11=σ 即S1 為對稱面反映操作,故S1 群相當於Cs 群。即對稱元素僅有一個對稱面。亦可記為C1h=C1v=Cs:{E,σ}。這樣的 分子不少。如TiCl2(C5H5)2,Ti 形成四配位化合物,2 個Cl 原子和環戊烯基成對角。又如的六元雜環化合物N3S2PCl4O2 亦是屬於Cs 對稱性。

 Ci 群:S2=σ、C2=Ci 為繞軸旋轉180°再進行水平面反映,操作結果相當於一個對稱心的反演。故S2 群亦記為Ci 群。例如Fe2(CO)4(C5H5)2,每個Fe 與一個羰基,一個環戊烯基配位,再通過兩個橋羰基與另一個Fe 原子成鍵,它屬於Ci 對稱性。S3=σC3 = C3+σ

S4 點群: 只有S4 是獨立的點群。例如:1,3,5,7-四甲基環辛四烯,有一個S4 映轉軸,沒有其它獨立對稱元素,一組甲基基團破壞了所有對稱面及C2 軸。

 

5.Dn 點群

對稱Dn點群和三葉草環,該點群分子都具有手性。

Dn 群由1 個Cn 軸和垂直於此軸的n 個C2 軸組成,階次為2n。 如果某分子除了一個主旋轉軸Cn(n≥2)之外,還有n 個垂直於Cn 軸的二次 軸C2,則該分子屬Dn 點群。

 

 

 

6.Dnh 點群Dnh 群

Dnh 點群示例,由於都有σh 意味著總是伴隨平
面的,D∞h 包括所有具有對稱中心的線性分子。Dnh 點群示例,由於都有σh 意味著總是伴隨平面的,D∞h 包括所有具有對稱中心的線性分子。

由Dn 群的對稱元素系中加入垂直於Cn 軸的σh 組成。若Cn奇數軸,將產生I2n 和n 個σv ,注意這時對稱元素系中不含對稱中心i 。若Cn 為偶數軸,對稱元素系中含有In ,n 個σv 和i。Dnh 分子含有一個主旋轉軸Cn (n>2),n 個垂直於Cn 軸的二次軸C2,還有一個垂直於主軸Cn 的水平對稱面σh;由此可產生4n 個對稱操作:{E,Cn,Cn2,Cn 3… Cnn-1;C1(1),C2(2)… C2(n);σh,Sn1,Sn2,… Snn-1;σv(1),σv(2)… σv(n)}Cn 旋轉軸產生n 個旋轉操作,n個C2 (i)軸旋轉產生n 個旋轉操作,還有對稱面反映及(n-1)個映轉操作,n 個通過Cn 主軸的垂面σv 的反映操作。故Dnh 群為4n 階群。

D2h 對稱性的分子亦很多,如常見的乙烯分子,平面型的對硝基苯分子 C6H4(NO2)2,草酸根離子[C2O4]2-等。

 

D3h:平面三角形的BBr3、CO32-、NO3 -或三角形骨架的環丙烷均屬D3h 點群。三角雙錐PCl5、三稜柱型的Tc6Cl6(圖VI)金屬簇合物等也是D3h 對稱性。 
D4h:[Ni(CN)4]2-、[PtCl4]2-等平面四邊形分子屬D4h 對稱性, 典型的金屬四重鍵分子Re2Cl8 2-,兩個Re 各配位四個Cl 原子, 兩層Cl 原子完全重疊,故符合D4h 對稱性要求。

D5h:重疊型的二茂鐵屬D5h 對稱性(平行的),IF7、UF7 離子為五角雙錐構 型,也屬D5h 對稱性。

D6h:點群以苯分子為例,苯的主軸位於苯環中心垂直於分子平面,6 個二 次軸,3 個分別經過兩兩相對C-H 鍵,3 個分別平分6 個C-C 鍵。分子平面 即σh 平面,6 個σv 垂面分別經過6 個C2 軸且相交於C6 軸。苯環屬於D6h 對 稱群,共有4×6=24 階對稱操作,是對稱性很高的分子。二苯鉻(重疊型)也是D6h 對稱性。
D∞h:同核雙原子分子H2、N2、O2 等,或中心對稱的線型分子CO2、CS2、 C2H2、Hg2Cl2 等屬於D∞h 對稱性。在分子軸線存在一個C∞軸,過分子中心又有 一個垂直於分子軸的平面,平面上有無數個C2 軸⊥C∞軸,還有無數個垂面σv 經過並相交於C∞軸。

 

7.Dnd 點群Dnd 群

Dnd 點群示例Dnd 點群示例

由Dn 群的對稱元素系和通過Cn 有平分2 個C2 軸的夾角的n 個σd 組成。若Cn 奇數軸,對稱元素系中含有Cn ,n 個C2 ,n 個σd ,i 和In,若Cn 為偶數軸,對稱元素系中含有Cn,n 個C2 , n 個σd 和I2n ,注 意這時不包含對稱中心i。一個分子若含有一個n 重旋轉軸Cn 及垂直於Cn 軸n個2 次軸,即滿足Dn 群要求后,要進一步判斷是Dnh 或Dnd,首先要尋找有否 垂直於Cn 主軸的水平對稱面σh。若無,則進一步尋找有否通過Cn 軸並平分C2軸的n 個σd 垂直對稱面,若有則屬Dnd 點群,該群含4n 個對稱操作。以丙二烯為例說明。沿著C=C=C 鍵方向有C2 主軸,經過中心C 原子垂直於C2 軸的2 個C2 軸,與兩個平面成45°交角。但不存在一個過中心D、垂直於主軸的平面,故丙二烯分子屬D2d 而不是D2h。D4d:一些過渡金屬八配位化合物, ReF8 2-、 TaF8 3-和Mo(CN)8 3+等均形成四方反稜柱構型,它的對稱性屬D4d。

 

8. T,Th 和Td 點群

T,Th 和Td 點群示例T,Th 和Td 點群示例

   這些是四面體群,其特點是都含有4 個C3 軸,按立方體體對角線排列。T 點群由4 個C3,和3 個C2 組成。Th 點群由4 個C3 和3 個C2 ,3 個σh(它們分別和3 個C2 軸垂直) 和i 組成。Td 點群由4 個C3,和3個I4(其中含有C2)和6 個σd(分別平分4 個C3 軸的夾角)組成,注意其中不包含對稱中心i。
      T 群:當一個分子具有四面體骨架構型,經過每個四面體頂點存在一個C3 旋轉軸,4 個頂點共有4 個C3 軸,聯結每兩條相對棱的中點,存在1 個C2 軸,六條棱共有3 個C2 軸,可形成12 個對稱操作:{E,4C3,4C32,3C2}。這些對稱操作構成T 群,群階為12。T 群是純旋轉群,不含對稱面,這樣的分子很少。

     Th 群:當某個分子存在T 群的對稱元素外,在垂直C2 軸方向有一對稱面,3 個C2 軸則有3 個對稱面,C2 軸與垂直的對稱面又會產生對稱心。這樣共有24 個對稱操作{E,4C3,4C32,3C2,I,4S6,4S65,3σh},這個群稱Th 群,群階為24。 
     Td 群:若一個四面體骨架的分子,存在4 個C3 軸,3 個C2 軸,同時每個C2 軸還處在兩個互相垂直的平面σd 的交線上,這兩個平面還平分另外2 個C2 軸(共有6 個這樣的平面)則該分子屬Td 對稱性。對稱操作為{E,3C2,8C3,6S4,6σd}共有24 階。這樣的分子很多。四面體CH4、CCl4 對稱性屬Td 群,一些含氧酸根SO4 2-、PO4 3-等亦是。在CH4 分子中,每個C-H 鍵方向存在1 個C3 軸,2 個氫原子連線中點與中心C 原子間是C2 軸, 還有6 個σd 平面。

 

9.O 和Oh 點群

      這些是八面體群,其特點是都含有3 個C4 軸,O 群由3 個C4,和4 個C3 和6 個C2 組成。Oh 群由3 個C4,和4 個 C3 和6 個C2,3 個σh(分別和3 個C4 軸垂直),6 個σd(分別平分4 個C3 軸的夾角)和i 等組成。分子幾何構型為立方體、八面體的, 其對稱性可屬於O 或Oh 點群。

Oh 點群示例Oh 點群示例

 
       O 群:立方體與八面體構型可互相嵌套,在立方體的每個正方形中心處取一個頂點,把這六個頂點連接起來就形成八面體。經過立方體兩個平行面的中心,存在1 個C4 旋轉軸,共有3 組平行面,所以有3 個C4 軸。通過相距最遠的兩個頂點有1 個C3 軸,共有4 個C3軸,3 個C4 軸與4 個C3 軸構成了24 個對稱操作,{E,6C4,3C2 ',6C2,8C3},構成純旋轉群O 群。O 群的C4 軸對八面體構型來說,存在於兩個對立頂點之間。6 個頂點就有3 個C4 軸,聯結兩個平行的三角面的中心,則為1 個C3 軸,共有8 個三角面,就有4 個C3 軸.。 對稱性為O 群的分子較少。


Oh 群:一個分子若已有O 群的對稱元素(4 個C3 軸,3 個C4 軸),再有一個垂直於C4 軸的對稱面σh,同理存在3 個σh 對稱面,有C4 軸與垂直於它的水平對稱面,將產生一個對稱心I,由此產生一系列的對稱操作,共有48 個:{E,6C4,3C2,6C2',8C3,I,6S4,3σh,6σv,8S6}這就形成了Oh 群,它包括八面體和立方體。屬於Oh 群的分子有八面體構型的SF6、WF6、Mo(CO)6,立方體構型的OsF8、立方烷C8H8,還有一些金屬簇合物對稱性屬Oh 點群。例如Mo6Cl8
4+或Ta6Cl12 2+,這兩個離子中,6 個金屬原子形成八面體骨架,Cl 原子在三角面上配位,或在棱橋位置與M 配位,還有一種立方八面體構型的分子對稱性也屬Oh 群。

10.I 和I h 點群

這些是二十面體群,其特點是都含有6 個C5 軸。I 點群由6 個C5,10 個C3 或15 個C2 組成。Id 點群由6 個C5,10 個C3 或15 個C2,15 個σ和i 組成。Id 點群有時又稱I h 點群。正二十面體與正十二面體具有完全相同的對稱操作。(將正十二面體的每個正五邊形的中心取為頂點,聯結起來就形成嚴格正二十面體。反之,從正二十面體每個三角形中心取一個頂點,聯結起來就形成一個正十二面體。)

Ih 群的C60 和I 群的脊髓灰質炎病毒Ih 群的C60 和I 群的脊髓灰質炎病毒

 

I 群:現以十二面體為例說明;聯結十二面體兩個平行五邊形的中心,即是多面體的一個C5 對稱軸,共有12 個面,即有6 個C5 軸,聯結十二面體相距最近的兩個頂點,則為C3 軸,共有20 個頂點,故有10 個C3 軸。經過一對棱的中點,可找到1 個C2 軸,共有30 條棱,所以有15 個C2 軸。6 個C5 軸、10 個C3 軸、15 個C2 軸共同組成了I 群的60 個對稱操作:{E,12C5,12C5 2,20C3,15C2},I 群的一個60 階的純旋轉群。屬於I 群的分子很少,典型的是脊髓灰質炎病毒。
Ih 群:在I 群對稱元素基礎上,增加一個對稱心,即可再產生60 個對稱操作,形成120 個對 稱操作的Ih 點群:{E,12C5,12C5 2,20C3,15C2,i,12S10,12S10 3,20S6,15σ}。正十二面體 和正二十面體的構結屬於這個點群,C60 也屬Ih 點群。

 

分子所屬點群的判別
對稱要確定一個對稱分子屬於那種點群可以根據這張圖的步驟來判斷

一個分子的對稱性一定屬於上述10 類點群中的一種。首先查看是否是線性的,再查看有無多個高次軸Cn:注意有無6 個C5,或3 個C4,或4 個C3,以區分二十面體群,八面體群,四面體群。再查看有無一個n≥2 的Cn 軸,n 個C2 軸,垂直C n 軸的σh,平分C2 軸的σd,以區分D n,D n h,D n d;進一步區分只有一個In 軸的點群S n 和C n i;區分只有一個C n 軸的C n,C n h 和C n v 等。

 

 

 

 

 

 

所有分子都可以歸納為這些對稱點群的分類,用群論的方法來處理這樣的對稱性是在分子的尺度上忽略了原子的差異性的。這些分子又構成了大分子體系以及細胞和生物體,對稱性並沒有因為系統的非線性疊加而消失;由於系統的自相似性存在,這樣的對稱性在將一直延伸到 宏觀世界。比如:Ih 點群正二十面體的噬菌體,I 點群的脊髓灰質炎病毒等都有著類似分子的對稱性(忽略病毒各個面分子的差異性)。

      

對稱雪花總是呈現六邊形嚴格對稱

 還有水分子由於氫鍵鏈接形成的對稱結構,由於空間平移的不變性在宏觀表現為對稱六邊形的雪花;六邊形結構是穩定性與對外接觸吸收更多水分相 妥協結果。因為雪花的形成過程是混沌的,所以世界上沒有兩片完全相同的雪花,但雪花都是對稱的。當然,宏觀的事物相對微觀的角度來觀察,差異性是必然存在的;而微觀的事物相對宏觀的角度來觀察,則是忽略這樣的差異性,而表現出來的緊密對稱性。

 

 

 

 

 

4 對稱 -對稱性的擴張(symmetry expanded)

       很多自然界的形狀又都包含著諸多對稱性操作的擴張。事物的對稱性,並不僅僅是一種點 群的歸納,事物的的發展往往伴隨對稱性的擴張。1952 年外爾(H. Weyl)提出用數學處理相似 對稱的方法。他定義了兩個相似變換的平面E2:一個中心擴張(簡稱擴張)和擴張旋轉,且限 制擴張係數k>0,他使空間等距、平移和扭轉分別建立了聯繫。即平移對稱和旋轉對稱的迭代, 這種操作無限迭代構成Σ群。他的分析是基於滿足自然界的相似性。像鸚鵡螺那樣按照對數螺 旋(位矢與切線間的夾角保持恆定)其形狀始終保持不變, 鸚鵡螺的螺旋中暗含了菲波納切數列, 而菲波納切數列的兩項間比值也是無限接近黃金分割數的。

對稱鸚鵡螺的螺旋中暗含了菲波納切數列

 

 

       在平面相似對稱理論的進一步發展是許勃尼科夫(A.V.Shubnikov),他指出所有的相似性變換平面E2:中心擴張k,膨脹旋轉L 和擴張反映M,都源於旋轉和反映;並衍生出五種相似對稱群,CnK, CnL, CnM, DnK, dnl,; DnL 與DNM 是一致的。更多內容可以參見Slavik V. Jablan 的《對稱性和裝飾》、Klaus Mainzer 的《對稱性與複雜性——熱情而美麗的非線性科學》以及Hermann Weyl 的《對稱性》。

 

 

 

 

 

藝術與對稱

 

對稱埃舍爾(M.C.Escher)的騎士

 

 

荷蘭畫家埃舍爾(M.C.Escher)的騎士圖對鏡象反射加上黑白置換和必要的平移操作才構成對稱操作。對稱性的擴張是通過聯合對稱性操作實現的,從簡單到複雜,對稱性的擴張也都是由幾種對稱性操作而組成。簡單的對稱點群,通過對稱操作形成了複雜的對稱圖案,而這樣的對稱性擴張不僅僅是在幾何意義上的。在經濟學中對稱性是一個功能原則;在社會學中是一個動態原則。

在社會學中對稱性擴張的結果就 是平衡,例如民主與劃分力量平衡的洛克自由主義影響了美國和法國的憲法。

 

 

 

 

       音樂必要成分的創作是另一種藝術,這包括:結構、形式、組織、和諧、比例、平衡。是否有一個創作音樂的普遍原理,即音樂的部分組織成為一個整體?拉里·所羅門(Larry J. Solomon)在他的博士論文中提出一個觀點,對稱性就是這樣的一個普遍原則。音樂的關係組成在不同國家文化、歷史、種族中,大部分是基於對稱性建立的。
       對稱性的觀念並不只限於基礎數學、物理,他還包括藝術,文化和經濟等;對稱性原則是一般性原則的決定原則。對稱群中的反映、旋轉和平移操作一樣可以應用於其他領域。在樂譜中時間代表水平線,如果關於軸對稱其結果是與原來全等,而滿足了反射對稱的條件。在三維軸(或三個層面,音高、時間、動態)反映成為平面,大多數音樂劇的形式只限於兩個變數,我們可以在二維空間中參考他們的圖樣,音樂符號在音調軸和音高軸同樣可以對稱,音高在音符代表垂直。

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