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對稱矩陣是元素以對角線為對稱軸對應相等的矩陣。1855年,埃米特(C.Hermite,1822-1901)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質,如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。

1 對稱矩陣 -定義



  元素以對角線為對稱軸對應相等的矩陣。

2 對稱矩陣 -矩陣的轉置和對稱矩陣


  把一個m×n矩陣的行,列互換得到的n×m矩陣,稱為A的轉置矩陣,記為A'即

  【矩陣轉置的運算律】(即性質):

對稱矩陣對稱矩陣

  1.(A')'=A
  2.(A+B)'=A'+B'
  3.(kA)'=kA'(k為實數)
  4.(AB)'=B'A'
  若矩陣A滿足條件A=A',則稱A為對稱矩陣,由定義知對稱矩陣一定是方陣,而且位於主對角線對稱位置上的元素必對應相等.即aij=aji,對任意i,j都成立。

  

3 對稱矩陣 -特性

  1.對於任何方形矩陣X,X+XT是對稱矩陣。
  2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
  3.對角矩都是對稱矩陣。
  兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。
  用表示Rn上的內積。的實矩陣A是對稱的,當且僅當對於所有,。
  任何方形矩陣X,如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:X=1/2(X+XT)+1/2(X?XT)
  每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個復方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積。
  若對稱矩陣A的每個元素均為實數,A是Hermite矩陣。
  一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當且僅當所有元素都是零。
  如果X是對稱矩陣,那幺AXAT也是對稱矩陣.
  

4 對稱矩陣 -數據結構中的對稱矩陣



  1.對稱矩陣
  (1)對稱矩陣
  在一個n階方陣A中,若元素滿足下述性質:
  aij=aji0≤i,j≤n-1
  則稱A為對稱矩陣。

  (2)對稱矩陣的壓縮存
  對稱矩陣中的元素關於主對角線對稱,故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素,讓每兩個對稱的元素共享一個存儲空間。這樣,能節約近一半的存儲空間。
  ①按"行優先順序"存儲主對角線(包括對角線)以下的元素

  即按a00,a10,a11,……,an-1,0,an-1,1…,an-1,n-1次序存放在一個向量sa[0..n(n+1)/2-1]中(下三角矩陣中,元素總數為n(n+1)/2)。
  其中:
  sa[0]=a00,
  sa[1]=a10,
  ……,
  sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
  ②元素aij的存放位置
  aij元素前有i行(從第0行到第i-1行),一共有:
  1+2+…+i=i×(i+1)/2個元素;
  在第i行上,aij之前恰有j個元素(即ai0,ail,…,ai,j-1),因此有:
  sa[i×(i+1)/2+j]=aij
  ③aij和sa[k]之間的對應關係:
  若i≥j,k=i×(i+1)/2+j0≤k
  若i<j,k=j×(j+1)/2+i0≤k
  令I=max(i,j),J=min(i,j),則k和i,j的對應關係可統一為:
  k=i×(i+1)/2+j0≤k
  (3)對稱矩陣的地址計算公式
  LOC(aij)=LOC(sa[k])
  =LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d
  通過下標變換公式,能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應位置k。因此是隨機存取結構。
  【例】a21和a12均存儲在sa[4]中,這是因為
  k=I×(I+1)/2+J=2×(2+1)/2+1=4

5 對稱矩陣 -有關對稱矩陣的數學史



  1855年,埃米特(C.Hermite,1822-1901)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質,如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來,克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。

 

參考資料:
 1.http://www.cszjzx.com/dzb/xsgl/student/jz/book/2-3.htm  

2.http://www.1bx.com/zh/%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3.htm 

 3.http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/duoweishuzu/duoweishuzu5.2.2.1.htm  

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