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對於雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結果。

1導數表

引用的常用公式
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到:
⒈y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變數,而g'(x)中把x看作變數』
⒉y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
⒊y=f(x)的反函數是x=g(y),則有y'=1/x'

2推導過程

證:1.顯而易見,y=c是一條平行於x軸的直線,所以處處的切線都是平行於x的,故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的:y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。
⒉這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用複合函數的求導給予證明。
⒊y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)
△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x
如果直接令△x→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道:△x=loga(1+β)。
所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然,當△x→0時,β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。
⒋y=logax
△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x
△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x
因為當△x→0時,△x/x趨向於0而x/△x趨向於∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有
lim△x→0△y/△x=logae/x。
可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。
⒌y=sinx
△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)
△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx
⒍類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx。
⒎y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
⒏y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
⒐y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
⒑y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
⒒y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
⒓y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
⒔聯立:
①(ln(u^v))'=(v * lnu)'
②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)
另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
⒋y=u土v,y'=u'土v'
⒌y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。
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