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尼斯阿蘭·貝克

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1970年他走上了尼斯國際數學家大會的主席台,成為一名菲爾茲獎的獲得者。他就是英國的阿蘭·貝克。

1 尼斯阿蘭·貝克 -簡介

在當代,也有一位年輕人,人們說他「在數論中引起了自高斯以來最深刻的變化」。的薄薄的只有128頁的著作《超越數論》被認為能與高斯的《算術探究》相媲美。1970年他走上了尼斯國際數學家大會的主席台,成為一名菲爾茲獎的獲得者。他就是英國的阿蘭·貝克。

2 尼斯阿蘭·貝克 -生平

貝克是在英國土生土長的。童年時期生不逢時,正值第二次世界大戰時期,整個倫敦被希特勒的飛機炸得天昏地暗。戰後,貝克順利就學,在結束了中等教育之後,於1958年進入大學。

貝克先是在倫敦大學學院學習,1961年又到劍橋三一學院求學。英國的數論開山祖哈代雖然早已辭世,但倫敦、劍橋兩地的數論學派仍然號稱一世之雄:達文泡特先後坐鎮劍橋、倫敦;羅斯因丟番圖逼近的工作得到1958年菲爾茲獎貝克對數論研究的興趣,可以肯定地說受到了這個學派的深刻影響,而貝克到劍橋,正是做了達文泡特的研究生。

當時五十多歲的達文泡特,是英國現代數論學派承前啟後的人物。他和世界上許多主要的數論工作者交往密切,又為英國培養了一代又一代的年輕數學家。但是在他的所有學生里,貝克跟隨他的方式多少有點奇怪:貝克大部分時間是自闖天地,只是不時把一些寫好的論文讓達文泡特過目。照其他的內行人看來,貝克實際上受達文泡特的影響不大,對貝克影響很深的倒是馬勒——一個在納粹時期從德國流亡到英國的數論學家。

但是達文泡特還是為有這麼一個學生而高興。因為從1962年起,特別是1966年以後,貝克像魔術師一樣把一個又一個重要成果拿了出來,使得「觀眾」目瞪口呆。截至1974年為止,他發表的重要論文已不下40篇,而人們還一點估計不出這個青年數學家還會再走多遠。

數論,是一個極其古老的分支。留至現代的一大批未解決的數論問題,至少都經歷過無數學者幾百年的求索而不得其解,這些果子的堅硬程度可想而知。數論的方法雖然越來越精巧,但要提出一些嶄新的思想卻決非易事,這塊園地已被耕耘過無數遍了。

但是貝克在這十年多一點的時間裡,解決了數論中十幾個歷時已久的困難問題,範圍涉及超越數論、不定方程、代數數論。概括一下,他的貢獻是給出了一種「有效方法」。

「有效」是什麼意思?讓我們舉不定方程為例。一個方程如果未知數多於一個,而又只考察其整數解的話,這個方程就稱為不定方程,又稱丟番圖方程。對於這種方程,二千多年來人們雖然發展了許多精巧的方法,但所解決的問題卻仍然十分零散,很少有關於一類方程的統一解法。數學家們對於這樣一個一個地攻克堡壘的方式早已厭煩,很自然地會提出,會不會有一種普遍適用的方法,能在有限步運算下決定一個不定方程是否有解?這就是著名的希爾伯特第十個問題。可以說,20世紀的不定方程論其重點是尋求一般的解法。

對於希爾伯特第十個問題,1970年前蘇聯的馬蒂雅斯維奇利用美國數學家羅賓遜、戴維斯和普特南的工作結果給出了否定的解決,就是說能夠用於一切不定方程的判定方法是不存在的。這個結果轟動一時。雖然沒有一種方法可以適用於解一切不定方程,但就一類方程來講還是有一些一般的結果。事實上1909年,瑟厄就給出過一個最早也是最有名的一般性定理:「任何二元整係數不可分解齊次多項式f(x,y)構成的方程f(x,y)=m,只有有限組解。」可以看出,由於(X,y)的限制較少,這個定理確實概括了一批不定方程的解的性狀。

但是瑟厄和隨後的西格爾定理、羅斯定理都有一個致命的弱點,就是沒有辦法有效計算。貝克正是突破了這一點。比如說,對於瑟厄定理,貝克進一步證明了這有限個解(x,y)都滿足max(|x|,|y|)<ce(logm)h』,其中k>f(x,y)的次數。而最重要的是,c是可以有效算出的。也就是說,對於二元方程,貝克肯定地解決了希爾伯特第十個問題。

貝克的所有工作都是從超越數論開始的。其核心是一個線性型定理。

什麼是超越數?簡單地說,一個實數如果不是代數方程的根就稱為超越數,反之,就稱為代數數。古希臘三大作圖難題之一「化圓為方」問題,正是由於證明了π的超越性而宣告不可用尺規完成。e,π,的超越性獲證是19世紀中超越數論的代表成就。本世紀30年代時,前蘇聯的蓋爾芳德和德國的施奈德各自獨立地解決了希爾伯特第七個問題的后一半:對於任意代數數a(≠0,1)和任意代數無理數β(≠0),aB是超越數。他倆建立的這座超越數論的豐碑,使得後來的30年裡,沒有任何成果可以超出其右。人們意識到,老方法已經用盡,得尋覓新路了。

新路就是貝克走出來的。他在60年代里得出了一系列關於代數數對數的線性型的定理。我們可以看看其中典型的一個:a1,a2,…,an,(a≥l)是非0代數數,loga1,loga2,…,logan在有理數域上線性獨立,令β0,…,βn是不全為0的滿足一些條件的數,那麼對任何k>n+1,

有|β0+β1logal+β2loga2+……+βnlogan|>ce-(logH)h,其中c是可以有效計算的。

定理敘述不甚艱深,證明卻極為困難,而用途也異常廣泛。應用這一套定理和方法,貝克在數論的各個分支里取得了輝煌的成果,例如

(1)不定方程方面。除前述之外,比較著名的有定出了y2=x3+k(k≠0)整數解的上界。

(2)超越數論方面。證明了如果a1,a2,…,an是代數數(非0或1);β0,β2,…,βn是線性獨立的代數無理數,則eβ0aβ11…aβnn是超越數。這就是使得蓋爾馮德的結果成為簡單的特例。

(3)二次數域方面。解決了高斯時代留下的一個老問題,肯定了類數為1的虛二次數域只有九個。

任何一個數學家,只要解決了上述問題中的一個,20世紀的數學史就得提到他的名字。而貝克卻一下子做了十幾項這樣的工作。

無怪乎1970年的菲爾茲獎要授與他。他的老師逝世之前就知道了貝克將被提名,顯得特別高興。可惜達文泡特1969年就逝世了,沒有親眼見到貝克的獲獎。

貝克從1964年起就是劍橋三一學院的研究員。他使得這個古老大學的數學傳統增添了生氣。1973年貝克成為皇家學會會員,1975年貝克得到了亞當斯獎,直接原因就是本文開頭時提到的那本薄薄的《超越數論》。

3 尼斯阿蘭·貝克 -評價


《超越數論》總結了他自己十幾年的研究成果,但貝克本人認為,這本書毋寧說是對於本世紀來這個分支發展情況的一個總匯。在序言里貝克寫了這麼一段話,從中可以看出他的風度與抱負:

「儘管它(指超越數論)有悠久的歷史,但還是青春煥發。通過更深入的研究,許多課題必將取得進展,同時還有一些著名問題仍待解決。作為例子,我們只要提一下e,π的代數獨立性和歐拉常數Y的超越性這幾個著名的猜想就行了。這些猜想中的任何一個如果獲得解決,都將標誌著巨大的進展。如果這本書能對促進未來的發展起到一點微小的作用,那麼作者也就感到滿足了。」

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