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1英語表達

差分:difference

2數學運用

首先我們來看在「無限演算」中所使用的
Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]
這是定義微分運算元D的性質。「有限演算」基於由
Δf(x)=f(x+1)-f(x)
定義在差分運算元Δ的性質上。
差分與微分有許多類似的性質(事實上微分可認為是差分的極限),對於冪函數的微分有
D(x^m) = m * x^(m-1) dx
我們尋找一種類似的差分性質:
設:
Mi(x,m) = x(x-1)(x-2)…(x-m+1) , 整數 m > 0
Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1)(x+2)…(x+m)),整數 m ≤ 0
那麼
ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1) .
差分方程
差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解,把它變成差分方程,就可以求出近似的解來。 比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程, x取值[0,1]  (註:解為y(x)=e^(-x));  要實現微分方程的離散化,可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]  這樣上述微分方程可以離散化為:y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0, k=0,1,2,...,n-1 (n 個離散方程組)  利用y(0)=1的條件,以及上面的差分方程,就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。

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