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布拉施克的生平
布拉施克於1885 年出生在奧地利的格拉茨市。他的早期數學訓練受自於其作
為中學幾何教師的父親。此後, 他求教於許多著名的幾何學家, 包括維爾丁格(W.
Wirtinger)、施圖迪(E. Study)、比安基(L. Bianchi)、恩格爾(F. Engel)、希爾伯
特(D. Hilbert) 和克萊因(F. Klein)。1919 年, 他被任命為新建的漢堡大學的教授,
並終身留在那裡任職。在他的同事中有馮¢ 諾依曼(von Neumann)、西格爾(C.
L. Siegel)、阿廷(E. Artin)、奧斯特洛斯基(A. M. Ostrowski)、拉德馬赫(H. A.
Rademacher)、拉東(J. K. A. radon)、赫克(E. Hecke)、哈塞(H. Hasse)、科拉茨
(Kollatz)、尼爾森(Nielsen)、施賴埃爾(O. Schreier) 和施佩納(E. Sperner)。他
的最著名學生是桑塔洛(Luis Santal¶o) 和陳省身。
布拉施克的數學工作
布拉施克最著名的工作是在凸幾何、仿射微分幾何和積分幾何領域。
² 在凸幾何學中, 布拉施克建立了關於凸體序列的一個緊性定理, 現在被稱為
\布拉施克選擇定理", 並用其證明了一個新的嚴格的凸幾何不等式。它表明了任
何一個包含在一個有界集中的凸集序列必有一個子列, 其關於豪斯多夫度量而言
是收斂的。這個結果一直是建立凸體所滿足的嚴格等周型不等式的有用工具。
布拉施克也闡述了現在所謂的布拉施克{桑塔洛不等式, 這是關於凸體的一個
基本的仿射幾何不等式。它與概率論和泛函分析, 也與數論、偏微分方程和微分幾
何有著深刻的聯繫。對布拉施克{桑塔洛不等式推廣的研究至今仍很活躍。這個不
等式表明, 給定了一個質心在原點的凸體K ½ Rn, 並記其極體為K¤, 則其體積滿
足不等式V (K) V (K¤) 6 V (B)2, 這裡B 是標準的歐氏球體, 且等號成立的充要
條件是K 為橢球體。布拉施克對n 6 3 建立了這個不等式, 桑塔洛[15] 將其推廣
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28 j 陳省身與幾何學的發展
到所有維數。
凸幾何學中最重要的長期未解決問題之一是馬勒猜想(Mahler conjecture),
它聲稱存在著一個逆向的嚴格不等式, 並且等號成立的充要條件是凸體為單
形。這個猜想僅在附加假設的情況下得到了證明, 對此猜想的研究仍很活躍。
² 積分幾何學的工作至少可追溯到克羅夫頓(M. W. Crofton), 他證明了與平
面中一條曲線弧相交的直線集合的不變測度是和弧長成正比例的。然而, 布拉施
克是第一個將積分幾何視為與微分幾何同等重要的數學家。他帶頭打造該學科的
基礎, 他的學生陳省身和桑塔洛則繼續他的工作。
特別地, 布拉施克開創了運動學公式的系統研究。運動學公式可如下表述為:
設G1 和G2 是Rn 中的幾何對象(如線性子空間、子流形或子區域)。它們中的每
一個都自然地帶有相應的幾何不變數, 如歐拉(Euler) 示性數、體積和邊界的體積
等。另一方面, G2 的積分不變數可定義為G1 的剛性運動與G2 的交集的幾何不
變數關於所有的剛體運動的平均。運動學公式表明, 後者乃是前者的線性組合。
布拉施克的工作集中於歐氏空間, 但是運動學公式可推廣到由變換群所定義
的其他幾何結構中。許多此類的推廣工作已由陳省身、桑塔洛和其他人完成。例
如, 可參見桑塔洛的書[16]。陳省身則在諸如文獻[5, 6] 的工作中, 表明了如何把
運動學公式推廣到齊性空間。
² 布拉施克也按照克萊因的埃朗根綱領,開創了仿射微分幾何學的研究。在其
關於微分幾何學的系列專著的第二卷[2] 中, 他對於Rn 中的子流形, 系統導出了
局部微分幾何不變數, 它們在仿射變換下不變, 或者具有良好的表現。他最著名的
工作是引進了Rn (n > 3) 中超曲面的仿射法線的概念。仿射法線是歐氏微分幾何
中高斯映射的仿射類似, 它可用來定義仿射球面的概念, 也可用來描述蒙日{安培
(Monge-Ampµere) 型偏微分方程的解。關於仿射球面的概述可參看洛夫廷(Loftin)
[13] 和洛夫廷{王{楊(Loftin-Wang-Yang) [14]。
² 布拉施克對黎曼幾何的主要貢獻是其解釋性的著作, 並對今後的數學家提
出應該去研究的問題。其最著名的例子是\布拉施克猜想"。
布拉施克引進了\再見曲面" (Wiedersehen surface) 的概念: 一個閉的二維
黎曼流形M 被稱為是\再見的" (Wiedersehen), 如果存在d > 0, 使得對於每點
p 2 M, 存在著另一點q 2 M, 使得每一條從p 出發的測地線經過距離d 后必能到
達q 點。布拉施克於1921 年在文獻[3] 中猜想, 任何再見曲面必為具有常曲率的
黎曼度量的2-球面。陳省身在文獻[7] 中描述了這個猜想的早期歷史。這個猜想
被格林(Green)[12] 所證明。
\再見曲面" 的定義可以毋須改變而推廣到高維的\再見流形"。布拉施克猜
想在高維時是否成立的問題, 直到前不久才獲解決。在以貝斯(A. L. Besse) 為
作者名(伯傑||Marcel Berger||的一個假名) 的著作[1] 的附錄D 中, 伯傑
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威廉¢ 布拉施克的數學工作及其對陳省身的影響29
利用了卡茲當(J. L. Kazdan) 的一個不等式(在文獻[1] 的附錄E 中) 證明了n
維再見流形的體積不能小於半徑r = d

的標準n 維球面的體積。溫斯坦(A.
Weinstein)[17] 證明了再見流形M 的體積可由M 中閉測地線空間上的上同調計
算所給出, 並藉此證明了偶數維的布拉施克猜想。楊忠道[19] 則對奇數維的情況進
行了上同調計算, 從而完成了對布拉施克猜想的證明。
布拉施克對陳省身的影響
陳省身首次遇見布拉施克是在1932 年後者訪問北京時, 當時陳省身還是一個
年輕的學生。根據陳省身所說[7], 布拉施克的\堅信數學是一門生氣勃勃和明白易
懂的學科" 對陳省身決定到漢堡大學去學習數學起了重要的作用。陳省身於1934
年來到漢堡, 在布拉施克的指導下, 於1936 年獲得博士學位。陳省身也開始跟隨
凱勒(KÄahler) 學習外微分系統和現在所謂的嘉當{凱勒理論。隨後, 布拉施克安排
陳省身到巴黎的埃利¢ 嘉當那裡繼續學習一年。
陳省身能夠運用外微分形式, 十分有效地把布拉施克關於微分幾何和積分幾
何的思想推廣到更抽象的框架中去。類似的計算導致了陳省身求管子體積的工作,
並最終使他發現了示性類。
在索菲斯¢ 李(S. Lie) 和龐加萊(J. H. Poincar¶e) 早期工作的影響下, 布
拉施克和他的學生博爾(Bol)[4] 研究了網幾何學。陳省身和格里菲思(P. A.
GRI±ths)[10;11;9] 對該課題做了一些工作。詳情可參看如陳省身所寫的綜述文章

布拉施克三維網猜想高懸半個世紀 美國人破解了 
【星島網訊】美國新澤西理工學院(NJIT)數學系教授歌德堡最近領導一個研究團隊,破解一個近代數學史上高懸半世紀的難題:布拉施克三維網猜想,為「網幾何」領域做出重大貢獻。 

  德國數學大師布拉施克在1955年提出一個著名的猜想:數學家沒有希望找到方法,將一個「曲線網」映像為一個由不相交直線組成的網。布拉施克是近代幾何學發展史上的重要人物,「網幾何」就是他開創,但他後來因參迦納粹而身敗名裂。 

  歌德堡指出,布拉施克所謂的「沒有希望」是指這個問題不可能以人工計算的方式解決,當時沒有計算機運算協助布拉施克。但歌德堡與以色列本古里昂大學教授阿奇維斯、挪威特浪索大學教授李查金合作,藉先進計算機軟體之助,終於解決這道難題。論文刊登在3月份《幾何分析期刊》。 

  「網幾何」研究將一系列曲線覆蓋在格狀的橫線與直線形成的「網」,鑽研者並不多,但經濟學家與物理學家——尤其是熱力學——經常援引其研究成果,已故華裔數學大師陳省身也是這個領域的翹楚。

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