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布爾值是 true 或 false 中的一個。動作腳本也會在適當時將值 true 和 false 轉換為 1 和 0。布爾值經常與動作腳本語句中通過比較控制腳本流的邏輯運算符一起使用。

1名稱

布爾值

2定義

包括true和false兩個值。
在邏輯中,真值或邏輯值是指示一個陳述在什麼程度上是真的。在計算機編程上多稱作布爾值。
布爾值釋義
在經典邏輯中,唯一可能的真值是真和假。但在其他邏輯中其他真值也是可能的: 模糊邏輯和其他形式的多值邏輯使用比簡單的真和假更多的真值。
在代數上說,集合 {真,假} 形成了簡單的布爾代數。可以把其他布爾代數用作多值邏輯中的真值集合,但直覺邏輯把布爾代數推廣為 Heyting代數。
在 topos理論中,topos 的子對象分類器接管了真值集合的位置。

3簡介

中文:布爾值
英語:boolean
法語:boolien
定義固定一個完全布爾代數B和一階語言L,後者由一組常量符號、函數符號和關係符號構成。L的布爾值模型因此就由全集M,它是元素(或名字)的集合,和對這些符號的釋義組成。特別是,這個模型必須為L的每個常量符號指派一個M的元素,並為L的每個n-元函數符號fn-元組 <a0,...,an-1> 中的每一個指派M的元素,這個模型必須為項f(a0,...,an-1) 指派M的元素。
關係符號和等式的釋義是更加複雜的: 對M每對元素a,b,模型必須為表達式a=b指派一個真值 ||a=b|| ;這個真值取自B。類似的,對於L的每個n-元關係符號Rn-元組 <a0,...,an-1> 中的每一個指派M的元素,這個模型必須指派B的一個元素為 ||R(a0,...,an-1)|| 的真值。
需要寫些文字來解釋在釋義等式上的額外限制,保證它是等價關係並且這個關係顧及了等價事物的代換。

4其他公式

其他公式可以使用布爾代數來釋義;對於命題連結詞這是很容易的;你可以簡單的在子公式的真值上應用對應的布爾運算符。例如,如果 φ(x) 和 ψ(y,z) 分別是帶有一個和兩個自由變數的公式,並且是要代換xyz為模型的全集的元素abc,則
的真值簡單的是
對於量化的公式,我們需要利用布爾代數B的完全性。如果 φ(x) 是帶有自由變數x(可能還有其他我們忽略的自由變數),則
這裡右手端要被理解為在B中所有真值 ||φ(a)|| 的上確界,這裡a的範圍在M之上。
一個公式的真值有時被稱為它的可能性。它不能理解為一般意義上概率,它們不是實數而是完全布爾代數的B的元素。

5模型

給定一個完全布爾代數B,有一個指示為V的布爾值模型,它是馮·諾伊曼全集V的布爾取值的類似者。(嚴格的說,V是真類,所以我們需要適當的重新解釋對於模型意味著什麼)。非形式的說,我們認為V是象「布爾值集合」的某種東西;換句話說,布爾值集合,不再有定義分明的元素和非元素,而有帶有是這個集合的元素的特定「可能性」的對象。這個「可能性」是B的一個元素,不是實數。這不同於模糊集合的概念。
布爾值集合的(「可能的」)元素,依次也是布爾值集合,它的元素也是布爾值集合,以此類推。要得到布爾值集合的非循環定義,我們需要有層次的建造它們。所以對於V的每個序數 α 我們定義集合為:
是 β<α 的的並集,如果 α 是極限序數(包括 0)。Vα+1是從B的所有函數的集合。(這種函數表示的「可能的」子集;如果f是這種函數,則對於任何xf(x) 是x在這個集合中的可能性)。 我們定義類V是所有集合的並集。
有可能相對化這個完整構造於ZF(或者有時它的片段)的某個傳遞模型M。在這種情況下我們通過應用上述構造於M內部而構造布爾值模型M。對傳遞模型的限制是不嚴重的,因為Mostowski塌陷引理蘊涵了所有合理的(良基的外延)模型同構於傳遞模型。(如果模型M不是傳遞事物而使其變得更加雜亂,因為M對什麼意味著是「函數」或「集合」的釋義可能不同於「外延」釋義)。
接著我們需要在集合V上定義兩個B-值的等於關係和成員關係。(在V上的B-值關係是從V×VB的函數)。為了避免混淆於通常的等式和成員關係,對於在V中的xy,它們指示為 ||x=y|| 和 ||xy||。它們定義如下:
||xy|| 被定義為 ∑t∈Dom(y) ||x=t|| ∧y(t)   ("xy中如果它等於在y中的某個東西") ||x=y|| 被定義為 ||xy||∧||y⊆x||   ("x等於y如果xy相互都是對方的子集"),這裡的 ||xy|| 被定義為 ∏t∈Dom(x)x(t)⇒||ty||   ("xy的子集如果所有x的元素都在y中") 符號 ∑ 和 ∏ 意味著我們在完全布爾代數B中採用最小上界和最大下界。第一眼看來上述定義好象是循環的: || ∈ || 倚賴於 || = ||,它依賴於 || ⊆ ||,它依賴於 || ∈ ||。但是閉合檢查證實了 || ∈ || 的定義只對於更小階的元素依賴於 || ∈ ||,所以 || ∈ || 和 || = || 是從V×VB的良好定義的函數。
最後我們需要檢查在V上的這兩個B-值的關係 || ∈ || 和 || = || 使V成為集合論的布爾值模型。沒有自由變數的每個一階集合論的句子都在B中有一個值,我們需要檢查等式的所有公理和 ZF 集合論的所有公理(沒有自由變數的)有B的元素「真」的值。這是直截了當的,但是要花很長時間因為有很多不同的公理需要檢查。

6引用

Bell, J. L. (1985)Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford.ISBN 0-19-853241-5Jech, Thomas(2002).Set theory, third millennium edition (revised and expanded).Springer.ISBN 3540440852. Kunen, Kenneth(1980).Set Theory: An Introduction to Independence Proofs.North-Holland.ISBN 0-444-85401-0. Kusraev, A. G. and S. S. Kutateladze(1999).Boolean Valued Analysis.Kluwer Academic Publishers.ISBN 0-7923-5921-6. Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras. Manin, Yu. I.(1977).A Course in Mathematical Logic.Springer.ISBN 0387902430. Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
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