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1 平均場理論 -簡介

  平均場理論,是一類把環境對物體的作用平均化,以減小單體加和時存在的漲落影響,從而獲得一個物理模型最主要的物理信息的方法,它廣泛應用於力學、凝聚態體系的複雜系統、磁學和結構相變的研究之中,是一種廣泛應用於小的平均漲落情況下真實物理系統的較低階近似的數學處理方法。

2 平均場理論 -平均場理論的意義

  平均場理論,是把環境對物體的作用進行集體處理,以平均作用效果替代單個作用效果的加和的方法。這一方法,能簡化對複雜問題的研究,把一個高次、多維的難以求解的問題轉化為一個低維問題,相當於把環境對研究對象的影響進行積分后再與研究對象發生作用,多用於運動狀態混亂的氣體,以及結構複雜的固體、液體的研究中,並構成了能帶論、現代固體理論、量子多體理論等理論的重要的基礎。儘管平均場理論帶來了研究的便利,但是由於積分過程會掩蓋掉環境中個別影響因素的漲落,因此在非平衡過程,強關聯繫統,以及瞬態過程中,平均場理論會帶來巨大的誤差。

3 平均場理論 -運用到平均場理論的實例

  在化學和物理研究中,平均場理論在不同的層次上被多次「發明」:范德瓦耳斯的狀態方程是最早的平均場理論,後來還有很多不同的名稱。1937年朗道提出了二類相變的普遍理論。朗道的平均場理論描述了包括超流液氦、鐵磁體相變等實驗現象,通過引入序參量來描述二元體系的平均化狀態,這樣體系熱力學函數就表示為序參量的解析函數。拿一個具體的例子說明,單軸各向異性的鐵磁體,磁化強度只能向上或者向下,現在是向上的。 這裡假定熱力學函數可以展開,有二次方和四次方項(由於反演對稱,沒有奇次方項),那麼展開係數是溫度的函數,a是一個正數,b也是一個正數。曲線在高於Tc的時候和低於Tc的時候是不一樣的,高於Tc的時候,最小值是Mo=0,就是沒有自發磁化;如果低於Tc,就有不等於0的極小點。按照平均場理論算出來,臨界指數β等於二分之一;算出與磁場的關係,在臨界點上是這樣的關係,d=3。可以算出平常說的磁化率,和T的相對溫度之間有一個關係,指數是1。還可以算比熱,從低溫到高溫的時候有一個躍變,本身是一個常數。如果鐵磁體不是單軸各向異性,而是平面各向異性的,序參量會有兩個分量。我們可以拿這個曲線轉一圈,最低能量態是「簡併」的,所有「酒瓶底」的狀態都具有最低能量,實際體系可能處於某一個位置上。這就是對稱破缺。 除此之外,外斯的分子場理論,描述合金有序化的布喇格-威廉姆斯理論,固體研究中引入並成為能帶論基礎的周期性邊界條件,固體中的集體激發,以及非整數的晶格位置佔據等都屬於平均場理論形式。
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