標籤: 暫無標籤

1定義

數學上,平方數,或稱完全平方數,是指可以寫成某個整數的平方的數,即其平方根為整數的數。例如,9 = 3 × 3,它是一個平方數。
平方數也稱正方形數,若n為平方數,將n個點排成矩形,可以排成一個正方形。
若將平方數概念擴展到有理數,則兩個平方數的比仍然是平方數,例如, (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。
若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因子,則稱其為無平方數因數的數。

2舉例

最小的51個平方數為(OEIS中的數列A000290):
構成平方數的星形六角數

  構成平方數的星形六角數

0^2 = 0
1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 4^2 = 16 5^2 = 25 6^2 = 36 7^2 = 49 8^2 = 64 9^2 = 81 10^2 = 100
11^2 = 121 12^2 = 144 13^2 = 169 14^2 = 196 15^2 = 225 16^2 = 256 17^2 = 289 18^2 = 324 19^2 = 361 20^2 = 400
21^2 = 441 22^2 = 484 23^2 = 529 24^2 = 576 25^2 = 625 26^2 = 676 27^2 = 729 28^2 = 784 29^2 = 841 30^2 = 900
31^2 = 961 32^2 = 1024 33^2 = 1089 34^2 = 1156 35^2 = 1225 36^2 = 1296 37^2 = 1369 38^2 = 1444 39^2 = 1521 40^2 = 1600
41^2 = 1681 42^2 = 1764 43^2 = 1849 44^2 = 1936 45^2 = 2025 46^2 = 2116 47^2 = 2209 48^2 = 2304 49^2 = 2401 50^2 = 2500

3性質

1. 一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。
2. 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的,三個平方數之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的數。若一個正整數可以表示因子中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方,則它可以表示成兩個平方數之和。
3. 平方數必定不是完全數。

4表達式

通項公式
對於一個整數n,它的平方寫成n2。n2等於頭n個正奇數的和()。在上圖中,從1開始,第n個平方數表示為前一個平方數加上第n個正奇數,如 5^2 = 25 = = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數:9。
連續整數的和
平方數還可以表示成n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,4^2 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列,即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如, 52^2 = 50^2 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

相關評論

同義詞:暫無同義詞