標籤:四邊形矩形正方形梯形菱形

在同一平面內有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(parallelogram)。

1判定

判定內容
(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
平行四邊形
(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
(4) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;
(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

2性質

(矩形(長方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)
性質:
(1)如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩組對邊分別相等。
(簡述為「平行四邊形的兩組對邊分別相等」)
(2)如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩組對角分別相等。
(簡述為「平行四邊形的兩組對角分別相等」)
( 3)如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的鄰角互補
(簡述為「平行四邊形的鄰角互補」)
(4)夾在兩條平行線間的平行的高相等。(平行線間的高距離處處相等)
(5)如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩條對角線互相平分。
(簡述為「平行四邊形的對角線互相平分」)
(6)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)
(7)平行四邊形的面積等於底和高的積。(可視為矩形).
(8)過平行四邊形對角線交點的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
性質11

  性質11

(9)平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩對角線的交點.
(10)平行四邊形不是軸對稱圖形,但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。:正方形,矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形,三者具有平行四邊形的性質。
(11)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點,則AC和DE互相三等分,一般地,若E為AB上靠近A的n等分點,則AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四邊形ABCD中,AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線,則各四邊的平方和等於對角線的平方和。
(13)平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等份。
(14)平行四邊形中,兩條在不同對邊上的高所組成的夾角,較小的角等於平行四邊形中較小的角,較大的角等於平行四邊形中較大的角。
(15)平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高,與這個角的兩邊組成的夾角相等。
平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等,鄰角互補平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的對角線的平方和等於四邊的平方和平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點平行四邊形的內角和是外角和的四分之一 。

3輔助線

一、連接對角線或平移對角線。
二、過頂點作對邊的垂線構成直角三角形。
三、連接對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線,構成線段平行或中位線。
四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段,構造相似三角形或等積三角形。
五、過頂點作對角線的垂線,構成線段平行或三角形全等。

4面積周長

1、(1)平行四邊形的面積公式:底×高(推導方法如圖);如用「h」表示高,「a」表示底,「S」表示平行四邊形面積,則S平行四邊=ah
(2)平行四邊形的面積等於兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用「a」「b」表示兩組鄰邊長,α表示兩邊的夾角,「S」表示平行四邊形的面積,則S平行四邊形=ab*sinα
周長與面積

  周長與面積

2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用「a」表示底1,「b」表示底2,「c平」表示平行四邊形周長,則平行四邊的周長c=2(a+b) 底×1X高

5類別

1、平行四邊形屬於平面圖形。
2、平行四邊形屬於四邊形。
3、平行四邊形中還包括特殊的平行四邊形:矩形,正方形和菱形等。
4、平行四邊形屬於中心對稱圖形。

6特殊

1、平行四邊形+直角=矩形
2、平行四邊形+ 一組鄰邊相等=菱形
3、平行四邊形+直角+ 一組鄰邊相等=正方形
菱形
1.定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2.性質:(1)菱形的四條邊都相等
(2)菱形的對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角
(3)具備平行四邊形的性質
3.判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)
(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
(3)四邊相等的四邊形是菱形
(4) 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

正方形

1.定義:有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形
2.性質:(1) 四個角都是直角
(2) 四條邊都相等
(3)對角線互相垂直平分且相等
(4)既具有平行四邊形的性質,還具備矩形和菱形的性質
3.判定: 1:對角線相等的菱形是正方形。  2:有一個角為直角的菱形是正方形。
3:對角線互相垂直的矩形是正方形。  4:一組鄰邊相等的矩形是正方形。
5:一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。
6:對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。
7:對角線互相垂直,平分且相等的四邊形是正方形。
8:一組鄰邊相等,有三個角是直角的四邊形是正方形。
9:既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。

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