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平行軸定理,一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行於z軸且通過質心的固定軸的轉動。也就是說,繞z軸的轉動等同於繞過質心的平行軸的轉動與質心的轉動的疊加。

1 平行軸定理 -平行軸定理:

     若有任一軸與過質心的軸平行,且該軸與過質心的軸相距為d,剛體對其轉動慣量為J,則有:

     J=Jc+md^2

     其中Jc表示相對通過質心的軸的轉動慣量

     這個定理稱為平行軸定理

     一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行於z軸且通過質心的固定軸的轉動。

    也就是說,繞z軸的轉動等同於繞過質心的平行軸的轉動與質心的轉動的疊加

2 平行軸定理 -驗證平行軸定理的方法:

方法一:


  剛體對任意軸的轉動慣量, 等於剛體對通過質心並與該軸平行的軸的轉動慣量, 再加上剛體質量與兩軸之間距離平方的乘積, 此為平行軸定理.關於此定理的驗證, 採用三線擺和剛體轉動實驗儀來驗證.在這裡利用復擺驗證平行軸定理的方法.

  一 實驗方法及公式推導

  一個圍繞定軸擺動的剛體就是復擺, 當擺動的振幅甚小時, 其振動周期 T 為

  式中 I 為復擺對以O 為軸轉動時的轉動慣量,m 為復擺的質量, g 為當地的重力加速度, h 為擺的支點O 到擺的質心 G 的距離. 又設復擺對通過質心 G 平行O 軸的軸轉動時的轉動慣量為 IG, 根據平行軸定理得:

  而IG又可寫成 IG= m k 2, k 就是復擺的迴轉半徑, 由此可將(1)式改成為

  整理(3)式得:

  當 h= h1 時, I1= IG + mh12,式中h1為支點O1到擺的質心G的距離, I1是以O1為軸時的轉動慣量.同理有:

  (4) - (5) 得:

  上式反映出轉軸位置對轉動的影響, 也是對平行軸定理的檢驗.在(6)式中令 y= T2h- T12h1,x = h2-h12, 則(6)式變為

  從測量可得出 n 組(x , y) 值, 用最小二乘法求出擬合直線y= a+ bx及相關係數r, 若r接近於1, 說明x與y二者線性相關, 平行軸定理得到驗證; 或作T2h- T12h1對h2-h12圖線, 若到檢驗為一直線, 平行軸定理亦得.

 

方法二


  測量舉例

  1) 測量步驟

  a. 測定重心 G 的位置 SG

  將復擺水平放在支架的刀刃上, 利用槓桿原理尋找 G 點的位置.

  b. 量出各支點對應的 h 值.

  c. 測出復擺繞各支點擺動的周期 T 擺角小於 (5°改變支點 10 次).

  2) 數據記錄

  各支點對應的 h 值及周期T見表1.

  3) 數據處理

  取 h1= 6 cm , T1= 1.51 s, 根據測量數據可得出10組(x , y)值, 見表2

  根據最小二乘法求出參數 a,b, 得出

  a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2

  b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1

  r= 0. 999375

  在此實驗中, 誤差的主要來源是偶然誤差, 所以只計算A 類標準不確定度作為總的不確定度, 略去B 類不確定度.結果 a,b 的不確定度為: 

  u(a) = 18×10-2 cm ·s 2

  u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1

  最後結果為:

  a= (21±18) ×10-2 cm ·s 2

  b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1

  r= 0. 999375

  從最後結果可以看出, x 與 y 二者完全線性相關, 平行軸定理得到驗證.

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