標籤:高中數學

既有方向又有大小的量叫做向量(物理學中叫做矢量),只有大小沒有方向的量叫做數量(物理學中叫做標量)。

1向量概念

既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量叫做向量(物理學中叫做矢量),向量可以用小寫黑體字母abc,.......表示,也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。只有大小沒有方向的量叫做數量(物理學中叫做標量)。在自然界中,有許多量既有大小又有方向,如力、速度等。我們為了研究這些量的這個共性,在它們的基礎上提取出了向量這個概念。這樣,研究清楚了向量的性質,當然用它來研究其它量,就會方便許多。

2幾何表示

具有方向的線段叫做有向線段,以A為起點,B為終點的有向線段記作AB。(AB是印刷體,也就是粗體字母,書寫體是上面加個→)
有向線段AB的長度叫做向量的模,記作|AB|。
有向線段包含3個因素:起點、方向、長度。
相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量:
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量,
向量ab平行,記作a//b,零向量與任意向量平行,即0//a
在向量中共線向量就是平行向量,(這和直線不同,直線共線就是同一條直線了,而向量共線就是指兩條是平行向量)
長度等於0的向量叫做零向量,記作0。(注意粗體格式,實數「0」和向量「0」是有區別的,書寫時要在實數「0」上加箭頭,以免混淆)
零向量的方向是任意的;且零向量與任何向量都平行且垂直。
模等於1個單位長度的向量叫做單位向量。

3坐標表示

在直角坐標系內,我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ij作為基底。任作一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得
a=xi+yj
我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標,記作
a=(x,y),
其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標,上式叫做向量的坐標表示。
在平面直角坐標系內,每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示。
注意:平面向量的坐標與點的坐標不一樣,平面向量的坐標是相對的。而點的坐標是絕對的。若一向量的起點在原點,例如該向量為(1,2)那麼該向量上的所有點都可以用(a,2a)表示。即,該向量上的任意一點的橫縱坐標比例關係與向量坐標的比例關係是一樣的。
平面向量

4運算

減法
AB-AC=CB,這種計演算法則叫做向量減法的三角形法則。(共起點,連終點,方向指向被減向量)
a長度相等,方向相反的向量,叫做a相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)ab=a+(-b)。
坐標
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
這就是說,兩個向量和與差的坐標分別等於這兩個向量相應坐標的和與差
由此可以得到:
一個向量的坐標等於表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。
根據上面的結論又可得
a=(x,y),則λa=(λx,λy)
這就是說,實數與向量的積的坐標等於用這個實數乘原來向量的相應坐標。
向量積
(1)向量a與向量b的夾角:已知兩個非零向量,過O點做向量OA=a,向量OB=b,則∠AOB=θ 叫做向量ab的夾角,記作〈ab〉。
(2)已知兩個非零向量ab,那麼a×b叫做ab向量積。若a、b不共線,a×b是一個向量,其模是∣a×b∣=|a||b|cos〈ab〉;a×b的方向為垂直於a和b,且aba×b按次序構成右手系。若ab共線,則a×b=0
(3)向量積幾何意義: ∣a×b∣是以ab為邊的平行四邊形面積。
(4)向量積性質:
a×a=0
ab〈=〉a×b=0
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb
a+b)×c=a×c+b×c

混合積

定義:給定空間三向量abc,向量ab的向量積a×b,再和向量c作數量積(a×bc,所得的數叫做三向量abc的混合積,記作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×bc
混合積具有下列性質:
1、三個不共面向量abc的混合積的絕對值等於以abc為棱的平行六面體的體積V,並且當abc構成右手系時混合積是正數;當abc構成左手系時,混合積是負數,即(abc)=εV(當abc構成右手系時ε=1;當abc構成左手系時ε=-1)
2、上性質的推論:三向量abc共面的充要條件是(abc)=0
3、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)

5基本定理

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線的非零向量,那麼對該平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ、μ,使a= λe1+ μe2。

6相關練習

1.若a=0,則對任一向量b,有a · b=0.
2.若a0,則對任一非零向量b,有a · b≠0. 錯(當ab時,a · b=0)
3.若a0a · b=0,則b=0錯(當ab都不為零,且ab時,a · b=0)
4.若a · b=0,則a · b中至少有一個為0. 錯(可以都不為0,當ab時,a · b=0成立)
5.若a0a · b=b · c,則a=c錯(當b=0時)
6.若a · b=a · c,則bc,當且僅當a=0時成立. 錯(a0且同時垂直於bc時也成立)
7.對任意向量aa·a=|a||a|

7特殊規律

1.三角形ABC內一點O,向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA,則點O是三角形的垂心。
2.若O是三角形ABC的外心,點M滿足向量OA+向量OB+向量OC=向量OM,則M是三角形ABC的垂心。
3若O和三角形ABC共面,且滿足向量OA+向量OB+向量OC=零向量,則O是三角形ABC的重心。
三點共線 三點A,B,C共線推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
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