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平面解析幾何

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1簡介

平面解析幾何包含以下幾部分

2直角坐標

1.1 有向線段
1.2 直線上的點的直角坐標
1.3 幾個基本公式
1.4平面上的點的直角坐標
1.5射影的基本原理
1.6 幾個基本公式

3曲線與方程

2.1曲線的直角坐標方程的定義
2.2 已知曲線,求它的方程
2.3 已知曲線的方程,描繪曲線
2.4 曲線的交點

4直線

3.1 直線的傾斜角和斜率
3.2 直線的方程
Y=kx+b
3.3 直線到點的有向距離
3.4 二元一次不等式表示的平面區域
3.5 兩條直線的相關位置
3.6 二元二方程表示兩條直線的條件
3.7 三條直線的相關位置
3.8 直線系
4.1 圓的定義
4.2 圓的方程
4.3 點和圓的相關位置
4.4 圓的切線
4.5 點關於圓的切點弦與極線
4.6 共軸圓系
4.7 平面上的反演變換
圓的基本知識
圓的定義
幾何說:平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心,定長稱為半徑。
軌跡說:平面上一動點以一定點為中心,一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周,簡稱圓。
集合說:到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。
概括
把一個圓按一條直線對摺過去,並且完全重合,展開再換個方向對摺,折出后,這些摺痕相交的一個點,叫做圓心,用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑,用字母r表示。通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑,用字母d表示。圓心決定圓的位置,半徑和直徑決定圓的大小。在同一個圓或等圓中,半徑都相等,直徑也都相等,直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的1/2。
用字母表示是:d=2r或r=d/2
圓的相關量
圓周率:圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率,它是一個無限不循環的小數通常用π表示,π=3.1415926535...,在實際應用中我們只取它的近似值,即π≈3.14(在奧數中一般π只取3、3.1416或3.14159)
圓弧和弦:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧(arc)。大於半圓的弧稱為優弧,小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord)。圓中最長的弦為直徑(diameter)。
圓心角和圓周角:頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
內心和外心:和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓,其圓心稱為內心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心。
扇形:在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。
【圓和圓的相關量字母表示方法】
圓—⊙半徑—r或R(在環形圓中外環半徑表示的字母) 弧—⌒ 直徑—d
扇形弧長/圓錐母線—l周長—C 面積—S
圓和其他圖形的位置關係
圓和點的位置關係:以點P與圓O的為例(設P是一點,則PO是點到圓心的距離),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O內,0≤PO<r。
直線與圓有3種位置關係:無公共點為相離;有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例(設OP⊥AB於P,則PO是AB到圓心的距離):AB與⊙O相離,PO>r;AB與⊙O相切,PO=r;AB與⊙O相交,0≤PO<r。
兩圓之間有5種位置關係:無公共點的,一圓在另一圓之外叫外離,在之內叫內含;有唯一公共點的,一圓在另一圓之外叫外切,在之內叫內切;有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R≥r,圓心距為P:外離P>R+r;外切P=R+r;相交R-r圓的對稱性質:圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的2條弧。逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的2條弧。
⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩個圓周角,兩組弧,兩條弦,兩條弦心距中有一組量相等,那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。 如果一條弧的長是另一條弧的2倍,那麼其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理
①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點,到三角形三個頂點距離相等;
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點,到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L(R:內切圓半徑,S:三角形面積,L:三角形周長)
④兩相切圓的連心線過切點(連心線:兩個圓心相連的直線)
⑤圓O中的弦PQ的中點M,過點M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ於X,Y,則M為XY之中點。
(4)如果兩圓相交,那麼連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。
(5)圓心角的度數等於它所對的弧的度數。
(6)圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
(7)弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。
(8)圓內角的度數等於這個角所對的弧的度數之和的一半。
(9)圓外角的度數等於這個角所截兩段弧的度數之差的一半。
有關切線的性質和定理
圓的切線垂直於過切點的半徑;經過半徑的一端,並且垂直於這條半徑的直線,是這個圓的切線。
切線的判定方法:經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質:(1)經過切點垂直於過切點的半徑的直線是圓的切線。(2)經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。(3)圓的切線垂直於經過切點的半徑。
切線長定理:從圓外一點到圓的兩條切線的長相等,那點與圓心的連線平分切線的夾角。
〖有關圓的計算公式〗
1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr^2; 3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長)5.圓錐側面積S=πrl 6.圓錐側面展開圖(扇形)的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長)
切割線定理圓的一條切線與一條割線相交於p點,切線交圓於C點,割線交圓於A B兩點 , 則有pC^2=pA·pB
割線定理與切割線定理相似 兩條割線交於p點,割線m交圓於A1 B1兩點,割線n交圓於A2 B2兩點
則pA1·pB1=pA2·pB2
圓的解析幾何性質和定理
圓的解析幾何方程
圓的標準方程:在平面直角坐標系中,以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標準方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圓的一般方程:把圓的標準方程展開,移項,合併同類項后,可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。其中和標準方程對比,其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。該圓圓心坐標為(-D/2,-E/2),半徑r=0.5√D^2+E^2-4F。
圓的參數方程:以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ為參數)
圓的端點式:若已知兩點A(a1,b1),B(a2,b2),則以線段AB為直徑的圓的方程為 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圓的離心率e=0,在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經過圓 x^2+y^2=r^2上一點M(a0,b0)的切線方程為 a0*x+b0*y=r^2
在圓(x^2+y^2=r^2)外一點M(a0,b0)引該圓的兩條切線,且兩切點為A,B,則A,B兩點所在直線的方程也為 a0*x+b0*y=r^2
圓與直線的位置關係判斷
平面內,直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關係判斷一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等於0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成為一個關於x的一元二次方程f(x)=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關係如下:
如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交。
如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切。
如果b^2-4ac<0,則圓與直線有0交點,即圓與直線相離。
2.如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A,它平行於y軸(或垂直於x軸),將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b,求出此時的兩個x值x1、x2,並且規定x1<x2,那麼:
當x=-C/A<x1或x=-C/A>x2時,直線與圓相離;
當x1<x=-C/A<x2時,直線與圓相交;
半徑r,直徑d
在直角坐標系中,圓的解析式為:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圓心坐標為(-D/2,-E/2)
其實只要保證X方Y方前係數都是1
就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)
這可以作為一個結論運用的
且r=根號(圓心坐標的平方和-F)
圓知識點總結
定義:(1)平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。
(2)平面上一條線段,繞它的一端旋轉360°,留下的軌跡叫圓。
圓心:(1)如定義(1)中,該定點為圓心
(2)如定義(2)中,繞的那一端的端點為圓心。
(3)圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。
(4) 垂直於圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。
註:圓心一般用字母O表示
直徑:通過圓心,並且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段,叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形,每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。
圓的半徑或直徑決定圓的大小,圓心決定圓的位置。
圓的周長:圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長,用字母C表示。
圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數,把它叫做圓周率,它是一個無限不循環小數(無理數),用字母π表示。計算時,通常取它的近似值,π≈3.14。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓的面積公式:圓所佔平面的大小叫做圓的面積。πr&sup2;,用字母S表示。
一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。
在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那麼他們所對的圓心角相等,所對的弦相等,所對的弦心距也相等。
周長計算公式
1.、已知直徑:C=πd
2、已知半徑:C=2πr
3、已知周長:D=c/π
4、圓周長的一半:1/2周長(曲線)
5、半圓的周長:1/2周長+直徑(π÷2+1)
面積計算公式:
1、已知半徑:S=πr&sup2;
2、已知直徑:S=π(d/2)&sup2;;
3、已知周長:S=π(c/2π)&sup2;;

6橢圓

5.1橢圓的定義
平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等於常數(大於|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距.
第二定義:
5.2 用平面截直圓錐面可以得到橢圓
5.3橢圓的標準方程
5.4 橢圓的基本性質及有關概念
5.5 點和橢圓的相關位置
5.6 橢圓的切線與法線
5.7 點關於橢圓的切點弦與極線
5.8 橢圓的面積

7雙曲線

6.1 雙曲線的定義
6.2 用平面截直圓錐面可以得到雙曲線
6.3 雙曲線的標準方程
6.4 雙曲線的基本性質及有關概念
6.5等軸雙曲線
6.6共軛雙曲線
6.7 點和雙曲線的相關位置
6.8 雙曲線的切線與法線
6.9 點關於雙曲線的切點弦與極線

8拋物線

7.1 拋物線的定義
7.2 用平面截直圓錐面可以得到拋物線
7.3 拋物線的標準方程
7.4 拋物線的基本性質及有關概念
7.5 點和拋物線的相關位置
7.6 拋物線的切線與法線
7.7 點關於拋物線的切點弦與極線
7.8 拋物線弓形的面積

9坐標變換

8.1 坐標變換的概念
8.2 坐標軸的平移
8.3 利用平移化簡曲線方程
8.4圓錐曲線的更一般的標準方程
8.5坐標軸的旋轉
8.6坐標變換的一般公式
8.7 曲線的分類
8.8二次曲線在直角坐標變換下的不變數
8.9二元二次方程的曲線
8.10 二次曲線方程的化簡
8.11 確定一條二次曲線的條件
8.12 二次曲線系

10定理口訣

有向線段直線圓,橢圓雙曲拋物線,參數方程極坐標,數形結合稱典範。
笛卡爾的觀點對,點和有序實數對,兩者—一來對應,開創幾何新途徑。
兩種思想相輝映,化歸思想打前陣;都說待定係數法,實為方程組思想。
三種類型集大成,畫出曲線求方程,給了方程作曲線,曲線位置關係判。
四件工具是法寶,坐標思想參數好;平面幾何不能丟,旋轉變換複數求。
解析幾何是幾何,得意忘形學不活。圖形直觀數入微,數學本是數形學。

11參數方程

應用
在柯西中值定理的證明中,也運用到了參數方程。  柯西中值定理  如果函數f(x)及F(x)滿足:  (1)在閉區間[a,b]上連續;  (2)在開區間(a,b)內可導;  (3)對任一x∈(a,b),F'(x)≠0,  那麼在(a,b)內至少有一點ζ,使等式  [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。  柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式,還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
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