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集合論基本概念之一,是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的,而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

1定義

序數原來被定義為良序集的序型,而良序集A的序型凴,作為從A的元素的屬性中抽象出來的結果,是所有與A序同構的一切良序集的共同特徵,即定義為{B|BA}。
這個定義從形式上看來是十分簡單明瞭的,但在ZFC公理系統中不能證明它構成一個集合。事實上,{B|BA}是一個真類。因此,原來的那個定義是不成功的,必須修正,另走別的途徑。設 α是一個良序集,ξ∈α,稱S(ξ)={β∈α|β<;ξ}為在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年,J.馮·諾伊曼把序數定義為滿足下述條件的良序集α:對於一切ξ∈α,S(ξ)=ξ。例如在集合9={0,1,2,…,8}中取一個元素2,S⑵={0,1}=2,9中任何其他元素也具有這個性質,所以9是一個序數。
序數

  序數

A稱為歸納集,如果①═∈A,②只要αA就有α′=α∪{α}∈A。歸納集A的存在性是由無限公理保證的。A的一切歸納子集之交N稱為自然數集,它是最小的歸納集。N是良序的,並且其中任一元素n的初始截段S(n)={0,1,2,…,(n-1)}=n,所以N是一個序數,這個序數通常用ω表示。N的每一個元素n都是序數,稱為有限序數。有限序數以屬於每一個歸納集作為特徵。其他序數稱為超限序數,ω就是最小的超限序數。1937年R,M.魯賓遜給出了序數的另一等價定義,良序集<;α∈>;是一個序數,若〈α,∈〉是傳遞集,即只要x∈α且yx就有y∈α,這些定義沒有康托爾原來定義的缺點。

2相關概念

偏序全序和良序
次序是二元關係(見映射)的一個非常重要的類型。設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係:①對於一切xAxRx(自反性);② 對於一切xyA,由xRyyRx可得x=y(反對稱性);③對於一切xyzA,由xRyyRz可得xRz(傳遞性),就稱R是定義在A上的偏序,也稱半序。偏序R通常記為≤或
序數

  序數

≤,αb)讀作αb前。集合A連同其上定義的偏序≤,稱為偏序集,記為〈A,≤〉。實數集上的通常的大小關係、集合之間的被包含關係、自然數之間的可整除關係都是偏序的例。設≤為A上的偏序。如果在A上定義一個關係<;,使得x<y當且僅當xyxy,則關係<;滿足條件:①′對任何xAx<x不成立,②′由x<yy<z可得x<z。這時<;稱為嚴格偏序。反之,設<;為嚴格偏序,如果定義xy當且僅當x<yx=y,則≤必為偏序。因此在偏序與嚴格偏序之中只需討論一種就夠了。設〈A,≤〉為一偏序集,如果x0∈A且在A中沒有其他x使xx0,則稱x0為A的一個極小元(素)。如果對於一切xAx0≤x,則稱x0為A中的最小元(素),正整數集在整除的偏序下1是最小元,但若只限於大於1的整數,則只有極小元(每個質數)而無最小元。仿此可定義極大元與最大元。設x為偏序集〈A,≤〉的子集,如果存在αA,使得對於一切xx,有αx,則稱αx(關於A)的一個下界。如果x的關於A的一切下界有一最大元α0,就稱α0為x(關於A)的下確界,記為infx。仿此可定義上界和上確界,後者記為supxA上的偏序≤,如果再加上條件④對於一切xyA,總有xyyx(至少有一成立),就稱≤為A上的全序,也稱線序。〈A,≤〉稱為全序集。顯然,在全序集中x<yx=yx>y,三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集的例。對於全序集〈A,≤〉如果再加上條件⑤A的任一非空子集都有最小元,就稱≤為A上的良序,〈A,≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集,按自然順序的自然數集,將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1,3,5,…,2,4,6,…}都是良序集之例。但整數全體,區間[0,1],就不是良序集。設<A,≤1>,<B,≤2>;為兩個偏序集,如果存在AB的雙射φ使得對於一切xyA,x≤1y當且僅當φ(x)≤2φ(y),便稱兩偏序集為序同構,記為AB。例如奇數集與偶數集序同構,但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。

3序數種類

第一種是0;第二種是某一序數α的後繼α′=α∪{α},稱為後繼序數;其他序數屬於第三種,稱為極限序數。對於任何良序集A,必有一個且僅有一個序數α使A與α序同構,此時α稱為A的序數,用凴 =α表示。任何兩個具有相同序數的良序集,必定序同構,因此序數是同構良序集的共同特徵,這正是康托爾序數概念的實質。

4算術

設αξ(ξ<λ)為一序數列,在集合A=(圖一)中規定其任意兩個元素〈γi〉、〈δj〉的次序如下:<γi><<δj>;當且僅當i<j或者i=jγ<δ;則〈A,<;〉構成一個良序集。A的序數可定義為序數列αξ(ξ<λ)之和,用(圖二)表示之。特別地,當λ=2,α0=α,α1=β時, (圖三)可簡寫為α+β;當對於任何ξ<λ,αξ=α時,可寫成α·λ,稱為兩個序數α,λ的乘積。對於任何序數α、βγ,它們的加、乘運算滿足:①結合律,(α+β)+γ=α+(β+γ),(α·β)·γ=α·(β·γ);②左分配律,α·(β+γ)=α·β+α·γ。但交換律與右分配律對序數的和、積卻並不成立,例如:ω+1>ω=1+ω;ω·2>ω=2·ω;1·ω+1·ω=ω·2>ω=(1+1)ω。由於全體序數構成一個真類(布拉利-福爾蒂定理),因此對於任何極限序數λ,序數列{αξ|ξ<λ}總有上界,且必然存在最小的上界,它就是序數列{αξ|ξ<λ}的上確界(圖五)。設α,β為序數,歸納地定義αβ如下:(圖六)對於任何序數α、βγ,序數的冪滿足:①同底冪的積,②冪的冪,(圖8)。序數的冪運算不滿足「積的冪」性質:
圖一

  圖一

圖二

  圖二

圖三

  圖三

圖四

  圖四

圖五

  圖五

圖六

  圖六

圖7

  圖7

圖8

  圖8

圖9

  圖9

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