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康托(Georg Cantor,1845-1918),德國數學家,19世紀數學偉大成就之一——集合論的創立人。 憑藉古代與中世紀哲學著作中關於無限的思想而導出了關於數的本質新的思想模式,建立了處理數學中的無限的基本技巧,極大地推動了分析與邏輯的發展。

康托

1簡介

主要成果
1874年康托的有關無窮的概念,震撼了知識界。康托憑藉古代與中世紀哲學著作中關於無限的思想而導出了關於數的本質新的思想模式,建立了處理數學中的無限的基本技巧,從而極大地推動了分析與邏輯的發展。他研究數論和用三角級數唯一地表示函數等問題,發現了驚人的結果:證明有理數是可列的,而全體實數是不可列的。
康托29歲(1874年)時在《數學雜誌》上發表了關於集合論的第一篇論文,提出了「無窮集合」這個數學概念,引起了數學界的極大關注,他引進了無窮點集的一些概念,如:基數,勢,序數等,試圖把不同的無窮離散點集和無窮連續點集按某種方式加以區分,他還構造了實變函數論中著名的「康托集」,「康托序列」。1874年證明了代數數集和有理數集的可數性和實數集的不可數性,建立了實數連續性公理,被稱為「康托公理」.1877年證明了一條線段上的點能夠和正方形上的點建立一一對應,從而證明了直線上,平面上,三維空間乃至高維空間的所有點的集合,都有相同的勢.1879-1884年他著重研究無窮數與超越數理論.最重要的著作是《超越數理論基礎》(1895-1897).
世界對集合論的認可
然而,歷史終究公平地評價了他的創造,集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支,成為了分析理論,測度論,拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家希爾伯特在德國傳播了康托的思想,把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家羅素把康托的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。
由於研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果(稱為「悖論」),許多大數學家唯恐陷進去而採取退避三舍的態度。在1874—1876年期間,不到30歲的康托向神秘的無窮宣戰。他靠著辛勤的汗水,成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應,也能和空間中的點一一對應。這樣看起來,1厘米長的線段內的點與太平洋麵上的點,以及整個地球內部的點都「一樣多」,後來幾年,康托對這類「無窮集合」問題發表了一系列文章,通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。
康托的創造性工作與傳統的數學觀念發生了尖銳衝突,遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說,康托的集合論是一種「疾病」,康托的概念是「霧中之霧」,甚至說康托是「瘋子」。
來自數學權威們的巨大精神壓力終於摧垮了康托,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送進精神病醫院。他在集合論方面許多非常出色的成果,都是在精神病發作的間歇時期獲得的。
可是,真理是不可戰勝的,也有許多卓越的數學家深為康托首創的集合論所起的作用而打動,1897年在蘇黎世舉行的第一次國際數學家大會上,赫爾維茨與阿達瑪兩位數學家站出來指出了康托集合論中超限數理論在分析學中的重要應用。希爾伯特也是最支持康托理論的數學家之一,他大聲疾呼:「沒有人能把我們從康托為我們創造的樂園中趕走。」並撰寫文章讚譽康托的超限算術為「數學思想的最驚人的產物,在純粹理性的範疇中人類活動的最美的表現。」著名哲學家羅素把康托的工作描述為「可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。」
用現代的眼光看待集合論
現代數學的發展告訴我們,康托的集合論是自古希臘時代以來兩千多年裡,人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統和確定的運算。並從本質上揭示了無窮的特性,使無窮的概念發生了一次革命性的變化,並滲透到所有的數學分支,從根本上改造了數學的結構,促進了數學許多新的分支的建立和發展,成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎,還給邏輯學和哲學也帶來了深遠的影響。

2所獲成就

真金不怕火煉,康托的思想終於大放光彩。1897年舉行的第一次國際數學家會議上,他的成就得到承認,偉大的哲學家、數學家羅素稱讚康托的工作「可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。」可是這時康托仍然神志恍惚,不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日,康托在一家精神病院去世。
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