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廣義相對論(General Relativity‎),是愛因斯坦於1915年以幾何語言建立而成的引力理論,統合了狹義相對論和牛頓的萬有引力定律,將引力改描述成因時空中的物質與能量而彎曲的時空,以取代傳統對於引力是一種力的看法。

1 廣義相對論 -簡介

廣義相對論在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞(模擬圖),背景為銀河系

廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的引力理論,它代表了現代物理學中引力理論研究的最高水平。廣義相對論將經典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中,並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中,引力被描述為時空的一種幾何屬性(曲率);而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫,其聯繫方式即是愛因斯坦的引力場方程(一個二階非線性偏微分方程組)。

從廣義相對論得到的有關預言和經典物理中的對應預言非常不相同,尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題,例如引力場內的時間膨脹、光的引力紅移和引力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述引力的唯一理論,它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。

不過,仍然有一些問題至今未能解決,典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來,從而建立一個完備並且自洽的量子引力理論。 愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用:它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。

有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在引力場中的偏折會形成引力透鏡現象,這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了引力波的存在,引力波已經被間接觀測所證實,而直接觀測則是當今世界像激光干涉引力波天文台(LIGO)這樣的引力波觀測計劃的目標。此外,廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。

2 廣義相對論 -歷史

廣義相對論愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁
1905年愛因斯坦發表狹義相對論后,他開始著眼於如何將引力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者 的理想實驗為出發點,他從1907年開始了長達八年的對引力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後,他於1915年11 月在普魯士科學院上作了發言,其內容正是著名的愛因斯坦引力場方程。這個方程描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍 的時空幾何,並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心。 愛因斯坦的引力場方程是一個二階非線性偏微分方程組,數學上想要求得方程的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多 近似方法,從引力場方程得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了引力場方程的 第一個非平庸精確解——史瓦西度規,這個解是研究星體引力坍縮的最終階段,即黑洞的理論基礎。在同一年,將史瓦西幾何 擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行,其最終結果就是雷斯勒-諾斯特朗姆度規,其對應的是帶電荷的靜態黑洞。 1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙,開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙 的學說仍被廣為接受,愛因斯坦在他的引力場方程中添加了一個新的常數,這被稱作宇宙常數項,以求得和當時的「觀測」相 符合。然而到了1929年,哈勃等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態,而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山 大·弗里德曼從他的弗里德曼方程(同樣由愛因斯坦場方程推出)得到,這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利 時牧師勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型,模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的。愛因斯坦其後 承認添加宇宙常數項是他一生中犯下的最大錯誤。 在那個時代,廣義相對論與其他物理理論相比仍保持了一種神秘感。由於它和狹義相對論相融洽,並能夠解釋很多牛頓引力無 法解釋的現象,顯然它要優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論是如何解釋水星軌道的反常近日點進動的現 象,其過程不需要任何附加參數(所謂「敷衍因子」)。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非 洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽引力場中的偏折,其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符(是牛頓理論預 言的偏折角的兩倍),這一發現隨後被全球報紙競相報導,一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫。但是直到1960年至1975年 間,廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野,這一時期被稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理 解了黑洞的概念,並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗 驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力,而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗。

3 廣義相對論 -從經典力學到廣義相對論

理解廣義相對論的最佳方法之一是從經典力學出發比較兩者的異同點:這種方法首先需要認識到經典力學和牛頓引力也可以用幾何語言來描述,而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用。

牛頓引力的幾何學
經典力學的一個基本原理是:任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動(慣性運動)和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用,其大小和方向遵循牛頓第二定律(外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度,方向與加速度方向相同)。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關:經典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說,慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑(測地線),在閔可夫斯基時空中是直的世界線。
廣義相對論小球落到正在加速的火箭的地板上(左)和落到地球上(右),處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別
反過來,原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用(如附加的電磁力或摩擦力等)來判斷物體的慣性運動性質,從而用來定義物體所處的時空幾何。不過,當有引力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處:牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明,自由落體具有一個普遍性(這也被稱作弱等效原理,亦即慣性質量與引力質量等價),即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關,與構成測試質量的材質等無關。這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明,如右圖所示:對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言,無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球引力場中,還是處於一艘無引力作用但正在加速的火箭里(加速度等於地球引力場的引力加速度);而作為對比,處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於引力場在空間中存在分佈的變化,弱等效原理需要加上局部的條件,即在足夠小的時空區域內引力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的。
由於自由落體的普遍性,慣性運動(實驗中的火箭內)和在引力場中的運動(實驗中的地面上)是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義,即在引力作用下的自由落體也屬於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何——從數學上看引力場中慣性運動的軌跡(測地線)和引力勢的梯度有關。

相對論的概括
廣義相對論光錐

牛頓引力的幾何理論儘管看上去很有趣,但這一理論的基礎經典力學不過是(狹義)相對論力學的一個特例。用對稱的語言來說,在不考慮引力的情形下物理學具有洛侖茲不變性,而並非經典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中,它除了包含有洛侖茲變換外還包含旋轉和平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯。
在洛侖茲對稱性下可以引入光錐的概念(見左圖),光錐構成了狹義相對論中的因果結構:對於每一個發生在時空中的事件A,原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或相互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件(具有因果聯繫),例如圖中的事件B;也有一組不可能互相影響的事件(不具有因果聯繫),例如圖中的事件C;而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規,或至少可以得到一個正的標量因子,在數學上這是共形結構的定義。
狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念:質量不過是系統能量和動量的一種表現形式,這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中:處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法(而不僅限於投擲小球)都無法區分自己是處於引力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理:在足夠小的時空區域中物理定律退化成狹義相對論中的形式;而不可能通過局部的實驗來探測到周圍引力場的存在。狹義相對論是在不考慮引力的情況下建立的,因此對於實際引力可以忽略的應用這是一個合適的模型。如果考慮引力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立,則可知宇宙間不存在全局的慣性系,而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局部近似慣性系。用時空彎曲的語言來說,是表徵了無引力作用的慣性系的直的類時世界線在實際時空中彼此會產生彎曲,這意味著引力的引入會改變時空的幾何結構。愛因斯坦等效原理由此暗示引力作用應歸屬於時空彎曲的範疇,無加速度的慣性運動和引力作用下的自由落體具有完全相同的定義。
實驗數據表明,處於引力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為固有時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說,這是由於所測量的時空並非閔可夫斯基度規。對於牛頓引力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的,並且都可近似為閔可夫斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔可夫斯基時空的彎曲化的一般性概括,所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何被測量的——並不是狹義相對論的閔可夫斯基度規,這種度規被概括地稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯,這種聯絡被稱作列維-奇維塔聯絡;事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局部的閔可夫斯基性(這是指在一個適合的局部慣性坐標系下度規是閔可夫斯基性的,其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。)。總體上可以歸納為,在愛因斯坦的理論中引力引起的時空彎曲是一種可微分流形,這種流形在局部是平直的,但整體上可能具有非常不同的全局幾何。

愛因斯坦方程


在建立了描述引力效應的相對論性幾何化版本后,還有一個關於引力的起源問題沒有解決。牛頓理論中的引力來源於質量,而在狹義相對論中質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度,以及應力(即壓強和剪應力的統稱)的描述,通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓引力作進一步的類比,可以很自然地通過一個場方程將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來,而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形:一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中,能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零,而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中,其方法是將經典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物:協變導數。在這一附加條件下,能量-動量張量的協變散度,以及場方程右邊所有可能出現的項統統為零,這一組簡潔的方程表述被稱作愛因斯坦引力場方程。

廣義相對論廣義相對論


方程左邊是一個由里奇張量構成的並且散度為零的特別組合,這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地,
廣義相對論廣義相對論

 是時空曲率的里奇標量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為
廣義相對論廣義相對論

方程右邊的
廣義相對論廣義相對論
是能量-動量張量。將引力場方程的理論和對行星軌道實際觀測的結果(或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓引力理論)相比較,可得到方程中的比例常數
廣義相對論廣義相對論
,其中是萬有引力常數而是光速。當沒有物質存在時能量
廣義相對論廣義相對論
-動量張量為零,這時的愛因斯坦場方程的形式化簡為所謂真空解法:

 某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的引力場方程,例如愛因斯坦-嘉當理論。

4 廣義相對論 -定義和基礎應用

前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的全部信息,並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是,廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義;具體說來,如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢?

定義和基本性質
廣義相對論是引力的度規理論,其核心是愛因斯坦場方程。場方程描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學,與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係。經典力學中由引力引起的現象(例如自由落體、星體軌道運動、航天器軌道等),在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動,即沒有所謂外來的引力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。引力本身是時空屬性的幾何學改變,使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動;而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說:時空告訴物體如何運動,物體告訴時空如何彎曲。
廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了經典力學中的引力標量勢,不過後者在某些極限情形下會退化為前者。在弱引力場並且速度遠小於光速的前提下,相對論的結果和牛頓經典理論的結果是重合的。
廣義相對論是用張量表示的,這是其廣義協變性的體現:廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式。並且,廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構,這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理:物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的。而廣義相對論認為在局部由於有等效原理的要求,時空是閔可夫斯基性的,物理定律具有局部洛侖茲不變性。

物理模型的建立
廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程的解。在愛因斯坦場方程和一個附加描述物質屬性的方程(類似於麥克斯韋方程組和介質的本構方程)同時已知的前提下,愛因斯坦場方程的解包含有一個確定的半黎曼流形(通常由特定坐標下得到的度規給出),以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程,因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然,物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程。因此可以將愛因斯坦場方程的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型,其內部的物質還同時滿足附加的物理定律。
愛因斯坦場方程是非線性的偏微分方程組,因此想要求得其精確解十分困難。儘管如此,仍有相當數量的精確解被求得,但只有一些具有物理上的直接應用。其中最著名的精確解,同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、雷斯勒-諾斯特朗姆解、克爾解,每一個解都對應著特定類型的黑洞模型;以及弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解和德西特宇宙,每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙(暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性)、Taub-NUT解(一種均勻卻又各向異性的宇宙模型)、反德西特空間(近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名)。
尋找愛因斯坦場方程的精確解並非易事,因此在更多場合下愛因斯坦場方程的解是通過計算機採用數值積分的方法,或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中,人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何,以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程。原則上只要計算機的運算能力足夠強大,數值相對論的方法就可以應用到任何系統中,從而有可能對裸奇點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化引力和后牛頓力學近似方法這樣的微擾理論,這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的,其中後者為求解時空內分佈的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。后牛頓力學近似方法是一系列展開項,第一項對應著牛頓引力,而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正。這種近似展開的一種擴展方法是參數化后牛頓形式,應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果.

5 廣義相對論 -愛因斯坦理論的後續

廣義相對論對物理學的影響非常深遠,其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的,而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。

引力時間膨脹和引力紅移

廣義相對論光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移
如果等效原理成立,則可得到引力會影響時間流逝的結論。射入引力勢阱中的光會發生藍移,而相反從勢阱中射出的光會發生紅移;歸納而言這兩種現象被稱作引力紅移。更一般地講,當有一個大質量物體存在時,對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢,這種現象叫做引力時間膨脹。

引力紅移已經在實驗室中及在天文觀測中得到證實和測量,而地球引力場中的引力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量。當前的測量表明地球引力場的時間延緩會對全球定位系統(GPS)的運行產生一定影響。這種效應在強引力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的,所有的實驗結果都和廣義相對論相符。不過在當前的測量精度下,人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論。

光線偏折和引力時間延遲

廣義相對論從光源(圖中藍點表示)發射出的光線在途經一個緻密星體(圖中灰色區域表示)時發生光線偏折
廣義相對論預言光子的路徑在引力場中會發生偏折,即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實。

這種現象(以及其他相關現象)的原因是光具有被稱作類光的(或被稱作零性的)測地線——相對於在經典物理中光的傳播路線是直線,類光的(或零性的)測地線是廣義相對論的相應概括,來源於狹義相對論中的光速不變原理。選取了合適的時空幾何(例如黑洞視界外的史瓦西解,或后牛頓展開項)就可以進一步看到引力場對光的傳播的影響,這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從經典力學出發,通過計算中心質量對光子的經典散射也可以得到光線的偏折效應,但從這種經典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。

和光線偏折現象密切相關的另一現象是引力時間延遲效應(或稱作夏皮羅延遲效應),這種現象是指在引力場中光的傳播時間要比無引力場的情形下要長,這種效應已經被多個觀測成功證實。在參數化后牛頓形式中,對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數,這個參數表徵了引力對時空幾何的影響。

光子-內部結構模型圖光子-內部結構模型圖



引力波

廣義相對論懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
弱引力場和電磁場相比有一個重要類同之處:類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波,引力場也有可能會輻射引力波。引力波有如時空度規的漣漪,以光速在空間中傳播。最簡單的一類情形如右所示:排列成一個環狀的自由懸浮粒子(右上靜態圖像),當有一束正弦引力波穿過這個環並朝向讀者傳播時,引力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲(右下動畫)。由於愛因斯坦場方程是非線性的,強引力場中的任意強度的引力波不滿足線性疊加原理。但在弱場情形下可採用線性近似,由於從遙遠的天體輻射出的引力波到達地球時已經非常微弱,這時線性化的引力波已經足以精確描述其到達地球時的強度,其引起的空間距離的相對變化大約在10-21或更低。這些線性化的引力波是可以進行傅里葉分解的,對這些引力波信號進行的數據分析正是基於這個原理。

場方程的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述引力波,如一束傳遍整個空間的波列,以及所謂高蒂宇宙(多種充滿引力波的膨脹宇宙的總稱)。不過對於天體物理學意義上的引力輻射而言,例如黑洞雙星的合併過程,后牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段。

軌道效應
對於作軌道運動的物體,廣義相對論和經典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉(進動),而軌道本身也會由於引力輻射而發生衰減。

近星點的進動

廣義相對論行星繞恆星作公轉的經典力學軌道(紅)和廣義相對論軌道(藍)比較
廣義相對論中,任意軌道的拱點(軌道上最接近或最遠離系統質心的點)會發生進動,這使得軌道不再是橢圓,而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道,其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限,並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於,它能夠最簡潔地解釋天文學家勒維耶在1859年發現的水星近日點的反常進動,而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認引力場方程的正確形式的一個重要依據。

從精確的史瓦西度規或採用更為一般的后牛頓力學近似形式也能夠推導出這種效應。從本質上說,這種進動是由於引力對時空幾何的影響,以及對物體引力的自能量的貢獻(其意義包含在愛因斯坦場方程的非線性中)。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星(水星、金星、地球)的相對論進動,而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應,其效應要比太陽系內行星高出五個數量級。

軌道衰減

廣義相對論對脈衝雙星PSR1913+16的周期變化長達三十年的觀測,其周期變化在秒量級內
根據廣義相對論,一個雙星系統會通過引力輻射的形式損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢,卻會使得雙星間的距離逐漸降低,同時降低的還有軌道周期。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中,這種效應十分微弱因此難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言,在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號,地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道周期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星,其緻密性能導致有較多部分的能量以引力輻射的形式傳播出去。

中子星-內部結構模型圖,中子星-內部結構模型圖,

最早觀測到這種因引力輻射導致的軌道周期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的,他們所觀測的脈衝雙星是他們於1974年發現的PSR1913+16。這也是人類首次在實驗上證實引力波的存在,儘管這只是一種間接觀測,這項工作因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎。從那以後更多的脈衝雙星被發現,值得一提的是PSRJ0737-3039,雙星系統的兩個成員都是脈衝星。

測地線效應和參考系拖拽
有些相對論效應與坐標的方向性有關,其一是測地線效應,例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變,即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定(即所謂在曲面上作「平行輸運」)。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球激光測距實驗得到驗證。近年來人們又通過發射引力探測器B衛星來測量測試質量在地球引力場中的測地線效應,其結果和理論值的誤差小於1%。

在一個旋轉質量的周圍還會產生引力磁性以及更一般的參考系拖拽效應,觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖拽效應,處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂能層區域,當有任何物體進入旋轉黑洞的能層時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖拽效應得到了初步證實。參考系拖拽的測量也是引力探測器B的主要任務之一,其結果預計將於2008年9月發布。

6 廣義相對論 -天體物理學上的應用

引力透鏡

廣義相對論愛因斯坦十字:同一個天體在引力透鏡效應下的四個成像

引力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體,當觀測天體的質量和相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像,這種效應被稱作引力透鏡。受系統結構、尺寸和質量分佈的影響,成像可以是多個,甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環,或者圓環的一部分弧。最早的引力透鏡效應是在1979年發現的,至今已經發現了超過一百個引力透鏡。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微引力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到,很多微引力透鏡也已經被發現。
引力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具,它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分佈,並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡,還可對哈勃常數做出獨立的估計。引力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義。

引力波天文學

廣義相對論藝術家的構想圖:激光空間干涉引力波探測器LISA
對脈衝雙星的觀測是間接證實引力波存在的有力證據(參見上文軌道衰減一節),然而對來自宇宙深處的引力波的直接觀測始終未能實現,這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一。現在已經有相當數量的地面引力波探測器投入運行,最著名的是GEO600、LIGO(包括三架激光干涉引力波探測器)、TAMA300和VIRGO;而美國和歐洲合作的空間激光干涉探測器LISA現在正處於開發階段,其先行測試計劃LISA探路者(LISAPathfinder)將於2009年底之前正式發射升空。
對引力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野,人們能夠通過探測到的引力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體,可能來自於某些超新星爆發,甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴漲時代的某些烙印,例如假想的宇宙弦。
白矮星-內部結構模型圖,白矮星-內部結構模型圖,


黑洞和其它緻密星體
廣義相對論基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星坍縮為黑洞並釋放出引力波的過程
廣義相對論預言了黑洞的存在,即當一個星體足夠緻密時,其引力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中,一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星,而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心,一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用。
在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將引力能量轉換為電磁輻射。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制,著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流,這是一種噴射速度可接近光速的且方向性極強的高能等離子束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用,而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據。
黑洞也是引力波探測的重要目標之一:黑洞雙星的合併過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的引力波信號,並且在雙星合併前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合併時的距離,並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的引力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息。

宇宙學
廣義相對論威爾金森微波各向異性探測器(WMAP)拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落
現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程建立的,宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。
這個經修改的愛因斯坦場方程具有一個各向同性並均勻的解:弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規,在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數(例如宇宙的物質平均密度)通過天文觀測加以確定,人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性。這個模型的很多預言都是成功的,這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度、宇宙的大尺度結構以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」:宇宙微波背景輻射。
從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量,不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質,它們具有質量(即參與引力相互作用),但不參與電磁相互作用,即它們無法(通過電磁波)直接觀測到。目前在已知的粒子物理或其他什麼理論的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外,對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示,我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響,而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說,宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程的某種能量形式決定的,這種能量被稱作暗能量,其本性也仍然不為所知。
在所謂暴漲模型中,宇宙曾在誕生的極早期(~10-33秒)經歷了劇烈的加速膨脹過程。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用經典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的,例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性,而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴漲模型的證據之一。然而,暴漲的可能的方式也是多樣的,現今的觀測還無法對此作出約束。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的,這涉及到發生在暴漲之前的、由經典宇宙學模型預言的大爆炸奇點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子引力理論來解答,而這個理論至今還沒有建立(參加下文量子引力)。

7 廣義相對論 -進階概念

因果結構和全局幾何

廣義相對論一個無限的靜態閔可夫斯基宇宙的彭羅斯圖
在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝,即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此,一個時空中所有光的世界線(零性測地線)包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是彭羅斯-卡特圖,在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」(數學上稱為緊化)在可被容納的有限時空區域內,而光的世界線仍然和在閔可夫斯基圖中一樣用對角線表示。
彭羅斯和其他研究者注意到因果結構的重要性,從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程的一個個特定解(或一族解),而是運用一些對所有測地線都成立的關係,如Raychaudhuri方程,以及對物質本性的非特異性假設(通常用所謂能量條件的形式來表述)來推導普適性結論。

視界
在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線,它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞:當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中后(相關長度為史瓦西半徑),沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速,黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過,從視界之外到視界之內的通道依然是存在的,這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障。
廣義相對論一個旋轉黑洞的能層,在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色
早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程的精確解,著名的解包括球對稱的史瓦西解(用來描述靜態黑洞)和反對稱的克爾解(用來描述旋轉定態黑洞,並由此引入了能層等有趣的屬性)。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質:研究表明經過一段相當長的時間后黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體,包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理:「黑洞沒有毛髮」,即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如,星體經過引力坍縮形成黑洞的過程非常複雜,但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單。
更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律,這被稱作黑洞(熱)力學,這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律,一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少,這類似於一個熱力學系統的熵;這個定律也決定了通過經典方法(例如,彭羅斯過程)不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集,而黑洞的表面積和它的熵成正比。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如,由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分,則可知黑洞的表面積也有可能減小,只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體,可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射;半經典理論計算表明它們確實存在有熱輻射,在這個機制中黑洞的表面引力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色,這種輻射稱作霍金輻射(參見下文量子理論一節)。
廣義相對論還預言了其他類型的視界模型:在一個膨脹宇宙中,觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測(所謂「粒子視界」),而未來的某些區域不能被影響(事件視界)。即使是在平直的閔可夫斯基時空中,當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界,這些視界也會伴隨有半經典理論中的盎魯輻射。

奇點
奇點-模型圖奇點-模型圖
廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索,這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡,但愛因斯坦場方程的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇點,這些奇點上類時或類光的測地線會突然中止,而對於這些奇點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是,「奇點」往往可能並不是一個「點」:那些場方程的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下,不僅可能是一個「點」,還可以以其他幾何形式出現(比如克爾黑洞的「奇環」等)。一般意義上的奇點是指曲率奇點,這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量,例如里奇張量為無限大(曲率奇點是相對所謂坐標奇點而言的,坐標奇點本質上不屬於奇點的範疇:有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大,但本質上這些點不具有奇性,在其他合適的坐標下是光滑的,也不會產生無窮大的曲率張量)。描述未來的奇點(世界線的終結)的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇點,以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇點。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規,以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇點(世界線的開端),這被稱作大爆炸奇點,而有些還具有未來的奇點(大擠壓)。
考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的,人們很容易去猜測奇點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇點定理指出,奇點是廣義相對論的一個普遍特色結果,並且任何有質量的實體發生引力坍縮並達到一個特定階段后都會形成奇點,而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇點。不過奇點定理的內容基本沒有涉及到奇點的性質,這些關於確定奇點的一般結構(例如所謂BKL假說)的問題是當前相關研究的主要課題。另一方面,由於在對於物理規律的破壞方面而言,一個被包裹於視界之中的奇點被認為要好過一個「裸」的奇點,故而宇宙監督假說被提出,它認為所有未來的實際奇點(即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇點)都會被藏在視界之內,從而對外面對觀察者不可見,即自然界憎恨裸奇點。儘管還沒有實際證據證明這一點,有數值模擬的結果支持這一假說的正確性。

演化方程
每一個愛因斯坦場方程的解都是一個宇宙,這裡的宇宙含義既包括了整個空間,也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」,而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵,愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同:大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程(例如量子力學中的埃倫費斯特定理),即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知,其演化方程能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的引力場和其他場的更多區別還在於前者是自身相互作用的(是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的),並且不具有固定的背景結構(在宇宙尺度上會發生演化)。
為了更好地理解愛因斯坦場方程這個與時間有關的偏微分方程,可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解,其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式,在這種分解下廣義相對論的時空演化方程具有良好的性質:在適當的初始條件給定的情形下方程有解並且是唯一的。場方程的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎。

全局和准局部量
演化方程的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫:在愛因斯坦的理論中,一個系統的總質量(或能量)這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於,引力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局部化的能量。
儘管如此,試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的,在經典物理中,質量(或能量)的定義可以來自時間平移不變性的守恆量,或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中,從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義:
  *  柯瑪質量:從類時的Killing矢量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量,表現為一個靜態時空的總能量;
  *  ADM質量:在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式,從中定義系統的總能量。
如果將一個系統的總質量中被引力波攜帶至無限遠處的能量除去,得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值,而動量和角動量也具有全局的相應定義。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試,例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式,例如環假說的某種更精確的形式。

8 廣義相對論 -和量子理論的關係

如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一,那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝聚態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱。然而,如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。

彎曲時空中的量子場論
作為現代物理中粒子物理學的基礎,通常意義上的量子場論是建立在平直的閔可夫斯基時空中的,這對於處在像地球這樣的弱引力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似。而在某些情形中,引力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求引力場本身也被量子化,為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於經典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空,並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論。通過這種理論,可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子,這即是霍金輻射,並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發。如前文所述,霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用。

量子引力
物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性,以及廣義相對論中時空曲率無限大(意味著其結構成為微觀尺度)的奇點的出現,這些都要求著一個完整的量子引力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述,而其中的引力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述。儘管物理學家為此做出了很多努力,並有多個有潛質的候選理論已經發展起來,至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子引力理論。

廣義相對論一個卡拉比-丘流形的投影,由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法
量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除引力外的其餘三種基本相互作用,但試圖將引力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功,其結果是一個可被接受的引力的有效(量子)場理論,但在高能區域得到的模型是發散的(不可重整化)。
廣義相對論圈量子引力中的一個簡單自旋網路
試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論,在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子,而是一維的弦。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括引力在內的基本相互作用的大統一理論,其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性。在所謂第二次超弦理論革新中,人們猜測超弦理論,以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超引力,能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分,這種模型叫做M理論,它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子引力理論。

另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式(參見上文演化方程一節),其結果是惠勒-得衛特方程(其作用類似於薛定諤方程)。雖然這個方程在一般情形下定義並不完備,但在所謂阿西特卡變數的引入下,從這個方程能夠得到一個很有前途的模型:圈量子引力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構,並在離散的時間中演化。

取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留,並在什麼能量量級上需要引入變化,對量子引力的嘗試理論還有很多,例如動力三角剖分、因果組合、扭量理論以及基於路徑積分的量子宇宙學模型。

所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決,而且它們都在面臨一個共同的問題,即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子引力理論的預言,進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上,量子引力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能。

9 廣義相對論 -當前進展

在引力和宇宙學的研究中,廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型,至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此,仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的:對量子引力的尋求以及時空奇點的現實性問題依然有待解決;實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立;而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋,也許則真的是一種新物理學來臨的預告。不過,廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性:數學相對論學家正在尋求理解奇點的本性,以及愛因斯坦場方程的基本屬性;不斷更新的計算機正在進行黑洞合併等更多的數值模擬;而第一次直接觀測到引力波的競賽也正在前進中,人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的引力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後,廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域。

10 廣義相對論 -廣義相對論基礎教案示例

廣義相對性原理和等效原理 狹義相對論認為,在不同的慣性參考系中一切物理規律都是相同的.愛因斯坦在此基礎上又向前邁進了一大步,認為在任何參考系中(包括非慣性系)物理規律都是相同的,這就是廣義相對性原理. 
  下面介紹廣義相對論的另一個基本原理. 
  假設宇宙飛船是全封閉的,宇航員和外界沒有任何聯繫,那麼他就沒有任何辦法來判斷,使物體以某一加速度下落的力到底是引力還是慣性力.實際上,不僅是自由落體的實驗,飛船內部的任何物理過程都不能告訴我們,飛船到底是在加速運動,還是停泊在一個行星的表面.這裡談到的情景和本章第一節所述伽利略大船中的情景十分相似.這個事實使我們想到:一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.愛因斯坦把它作為廣義相對論的第二個基本原理,這就是著名的等效原理. 
  從這兩個基本原理出發可以直接得出一些意想不到的結論. 
 
廣義相對論
假設在引力可以忽略的宇宙空間有一艘宇宙飛船在做勻加速直線運動,一束光垂直於運動方向射入這艘飛船.船外靜止的觀察者當然會看到這束光是沿直線傳播的,但是飛船中的觀察者以飛船為參考系看到的卻是另外一番情景.為了記錄光束在飛船中的徑跡,他在船中等距離地放置一些半透明的屏(如圖),光可以透過這些屏,同時在屏上留下光點.由於飛船在前進,光到達下一屏的位置總會比到達上一展的位置更加靠近船尾.如果飛船做勻速直線運動,光在任何相鄰兩屏之間飛行時,飛船前進的距離都相等,飛船上的觀察者看到光的徑跡仍是一條直線(如圖中的虛線),儘管直線的方向與船外靜止觀察者看到的直線方向不一樣.如果飛船做勻加速直線運動,在光向右傳播的同時,飛船的速度也在不斷增大,因此船上觀察者記錄下的光的徑跡是一條拋物線(如圖中的實線). 
  根據等效原理,飛船中的觀察者也完全可以認為飛船沒有加速運動,而是在船尾方向存在一塊巨大的物體,它的引力場影響了飛船內的物理過程.因此我們得出結論:物體的引力能使光線彎曲. 
  通常物體的引力場都太弱,20世紀初只能觀測到太陽引力場引起的光線彎曲.由於太陽引力場的作用,我們有可能看到太陽後面的恆星(如圖).但是,平時的明亮天空使我們無法觀星,所以最好的時機是發生日全食的時候.1919年5月29日恰好有一次日全食,兩支英國考察隊分赴幾內亞灣和巴西進行觀測,其結果完全證實了愛因斯坦的預言.這是廣義相對論的最早的驗證. 
  如圖的現象表明,星球的強引力場能使它背後傳來的光線會聚,這種現象叫做引力透鏡效應.宇宙中很可能存在著黑洞,黑洞不輻射電磁波,因此無法直接觀測,但是它的巨大質量和極小的體積使它附近具有極強的引力場,所以引力透鏡效應是探索黑洞的途徑之一. 
  時間間隔與引力場有關 引力場的存在使得空間不同位置的時間進程出現差別. 
 
廣義相對論
我們考察一個轉動的巨大圓盤(如圖).從地面上看,圓盤上除轉動軸的位置外,各點都在做加速運動,越是靠近邊緣,加速度越大,方向指向盤心.從地面上還會看到,越是靠近邊緣的點,速度越大.根據狹義相對論,同一個過程,越是發生在靠近邊緣的位置,這個過程所持續的時間就越長.或者說,靠近邊緣位置的時間進程比較緩慢. 
  現在再以圓盤本身為參考系研究這個現象.圓盤上的人認為,盤上存在著一個引力場,方向由盤心指向邊緣.既然靠近邊緣位置的時間進程比較緩慢,盤上的人就可以得出結論:在引力勢較低的位置,時間進程比較慢. 
  宇宙中有一類恆星,體積很小,質量卻不小,叫做矮星.矮星表面的引力很強,引力勢比地球表面低得多.矮星表面的時間進程比較慢,那裡的原子發光的頻率比同種原子在地球上發光的頻率低,看起來偏紅.這個現象叫做引力紅移,已經在天文觀測中得到證實.現代技術也能夠在地球上驗證引力紅移. 
  桿的長度與引力場有關 仍然考察轉動的圓盤.同樣的桿,放在盤上的不同位置,它們隨盤運動的速度就不一樣,根據狹義相對論,它們的長度也就不一樣,越是靠近邊緣,桿就越短.盤上的人也觀察到了這種差別,不過他以圓盤為參考系,認為盤是靜止的,同時他還認為盤上各點存在著指向圓盤邊緣的引力,因此他得出結論:引力勢越低的位置,桿的長度越短. 
  桿的長度和引力場的分佈有關,這個現象反映出這樣的事實,即由於物質的存在,實際空間並不是均勻的,這和我們過去的觀念有很大的差別.打個比方,一塊布上面的格子是整齊的(如圖甲),如果用手向下壓,格子就彎曲了(如圖乙).物理學借用了「彎曲」這個詞,通常說,由於物質的存在,實際的空間是彎曲的. 
  行星沿橢圓軌道繞太陽運動,有時離太陽近些,有時遠些.太陽的巨大質量使它周圍的空間發生彎曲,其結果是,行星每公轉一周它的軌道的長軸都比上一個周期偏轉一個角度,這個現象叫做行星軌道的進動.理論分析表明只有水星軌道的進動比較顯著,達到約每世紀0.01°.這個現象早在廣義相對論出現之前就已經發現,只是無法解釋,所以它實際是廣義相對論的最早的佐證. 
  廣義相對論與幾何學 最後,我們再次回到轉動的圓盤.狹義相對論告訴我們,只有沿著運動方向的長度發生變化,垂直於運動方向的長度不會變化;如果以圓盤為參考系,就可以說,沿著引力方向的空間尺度沒有變化,只有垂直於引力方向的空間尺度發生了改變.這一點具有非常深刻的意義,因為這時測量圓盤的周長和直徑,它們的比值就不再是3.141 59…,而是別的值,三角形的內角和也不會是180°了……簡而言之,由於實際空間是彎曲的,我們學習的幾何學已經不適用了. 
  幾何學反映的是人對空間關係的認識.有史以來人們只是在比較小的空間尺度中接觸到比較弱的引力場.這種情況下空間的彎曲可以忽略,在此基礎上人類發展了歐幾里得幾何學,它反映了平直空間的實際.廣義相對論告訴我們實際空間是彎曲的,因此描述實際空間的應該是更具有一般意義的非歐幾何.不過,作為非歐幾何的特例,歐幾里得幾何學在它的適用範圍內仍是正確的,還將繼續發揮作用.

11 廣義相對論 -誕生背景

 愛因斯坦在1905年發表了一篇探討光線在狹義相對論中,重力和加速度對其影響的論文,廣義相對論的雛型就此開始形成。1912年,愛因斯坦發表了另外一篇論文,探討如何將重力場用幾何的語言來描述。至此,廣義相對論的運動學出現了。到了1915年,愛因斯坦場方程式被發表了出來,整個廣義相對論的動力學才終於完成。 
  1915年後,廣義相對論的發展多集中在解開場方程式上,解答的物理解釋以及尋求可能的實驗與觀測也佔了很大的一部份。但因為場方程式是一個非線性偏微分方程,很難得出解來,所以在電腦開始應用在科學上之前,也只有少數的解被解出來而已。其中最著名的有三個解:史瓦西解(the Schwarzschild solution (1916)), the Reissner-Nordström solution and the Kerr solution。 
  在廣義相對論的觀測上,也有著許多的進展。水星的歲差(科技名詞定義
中文名稱:
歲差 
英文名稱:
precession 
定義1:
地球瞬時自轉軸在慣性空間不斷改變方向的長期性運動。 
所屬學科: 
測繪學(一級學科) ;大地測量學(二級學科) 
定義2:
因地球自轉軸的空間指向和黃道平面的長期變化而引起的春分點移動現象。 
所屬學科: 
天文學(一級學科) ;天體測量學(二級學科) 
),是第一個證明廣義相對論是正確的證據,這是在相對論出現之前就已經量測到的現象,直到廣義相對論被愛因斯坦發現之後,才得到了理論的說明。第二個實驗則是1919年愛丁頓在非洲趁日蝕的時候量測星光因太陽的重力場所產生的偏折,和廣義相對論所預測的一模一樣。這時,廣義相對論的理論已被大眾和大多的物理學家廣泛地接受了。之後,更有許多的實驗去測試廣義相對論的理論,並且證實了廣義相對論的正確。 
  另外,宇宙的膨脹也創造出了廣義相對論的另一場高潮。從19 
 
愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁
22年開始,研究者們就發現場方程式所得出的解答會是一個膨脹中的宇宙,而愛因斯坦在那時自然也不相信宇宙會來漲縮,所以他便在場方程式中加入了一個宇宙常數來使場方程式可以解出一個穩定宇宙的解出來。但是這個解有兩個問題。在理論上,一個穩定宇宙的解在數學上不是穩定。另外在觀測上,1929年,哈勃發現了宇宙其實是在膨脹的,這個實驗結果使得愛因斯坦放棄了宇宙常數,並宣稱這是我一生最大的錯誤(the biggest blunder in my career)。 
  但根據最近的一形超新星的觀察,宇宙膨脹正在加速。所以宇宙常數似乎有敗部復活的可能性,宇宙中存在的暗能量可能就必須用宇宙常數來解釋. 
基本假設
  簡單地說,廣義相對論的兩個基本原理是:一,等效原理:引力與慣性力等效;二,廣義相對性原理: 
 
等效原理
所有的物理定律在任何參考系中都取相同的形式。 
等效原理
  等效原理:分為弱等效原理和強等效原理,弱等效原理認為引力質量和慣性質量是等同的。強等效原理認為,兩個空間分別受到引力和與之等大的慣性力的作用,在這兩個空間中從事一切實驗,都將得出同樣的物理規律。 現在有不少學者在從事等效原理的論證研究,但是至少目前能夠做到的精度來看,未曾從實驗上證明等效原理是破缺的。 
廣義相對性原理
  廣義相對性原理:物理定律的形式在一切參考系都是不變的。 
  普通物理學(大學課本)中是這樣描述這兩個原理的: 
  等效原理:在處於均勻的恆定引力場影響下的慣性系,所發生的一切物理現象,可以和一個不受引力場影響的,但以恆定加速度運動的非慣性系內的物理現象完全相同。 
  廣義相對論的相對性原理:所有非慣性系和有引力場存在的慣性系對於描述物理現象都是等價的。 

12 廣義相對論 -廣義相對論的基本概念

廣義相對論是基於狹義相對論的。如果後者被證明是錯誤的,整個理論的大廈都將垮塌。 
質量的兩種不同表述
  為了理解廣義相對論,我們必須明確質量在經典力學中是如何定義的。 
  首先,讓我們思考一下質量在日常生活中代表什麼。「它是重量」?事實上,我們認為質量是某種可稱量的東西,正如我們是這樣度量它的:我們把需要測出其質量的物體放在一架天平上。我們這樣做是利用了質量的什麼性質呢?是地球和被測物體相互吸引的事實。這種質量被稱作「 
 
小球落到正在加速的地板上和落到地球上
引力質量」。我們稱它為「引力的」是因為它決定了宇宙中所有星星和恆星的運行:地球和太陽間的引力質量驅使地球圍繞後者作近乎圓形的環繞運動。 
  現在,試著在一個平面上推你的汽車。你不能否認你的汽車強烈地反抗著你要給它的加速度。這是因為你的汽車有一個非常大的質量。移動輕的物體要比移動重的物體輕鬆。質量也可以用另一種方式定義:「它反抗加速度」。這種質量被稱作「慣性質量」。 
  因此我們得出這個結論:我們可以用兩種方法度量質量。要麼我們稱它的重量(非常簡單),要麼我們測量它對加速度的抵抗(使用牛頓定律)。 
  人們做了許多實驗以測量同一物體的慣性質量和引力質量。所有的實驗結果都得出同一結論:慣性質量等於引力質量。 
  牛頓自己意識到這種質量的等同性是由某種他的理論不能夠解釋的原因引起的。但他認為這一結果是一種簡單的巧合。與此相反,愛因斯坦發現這種等同性中存在著一條取代牛頓理論的通道。 
  日常經驗驗證了這一等同性:兩個物體(一輕一重)會以相同的速度「下落」。然而重的物體受到的地球引力比輕的大。那麼為什麼它不會「落」得更快呢?因為它對加速度的抵抗更強。結論是,引力場中物體的加速度與其質量無關。伽利略是第一個注意到此現象的人。重要的是你應該明白,引力場中所有的物體「以同一加速度下落」是(經典力學中)慣性質量和引力質量等同的結果。 
  現在我們關注一下「下落」這個表述。物體「下落」是由於地球的引力質量產生了地球的引力場。兩個物體在所有相同的引力場中的加速度相同。不論是月亮的還是太陽的, 
 
光錐
它們以相同的比率被加速。這就是說它們的速度在每秒鐘內的增量相同。(加速度是速度每秒的增加值) 
引力質量和慣性質量的等同性
  愛因斯坦一直在尋找「引力質量與慣性質量相等」的解釋。為了這個目標,他作出了被稱作「等同原理」的第三假設。它說明:如果一個慣性系相對於一個伽利略系被均勻地加速,那麼我們就可以通過引入相對於它的一個均勻引力場而認為它(該慣性系)是靜止的。 
  讓我們來考查一個慣性系K』,它有一個相對於伽利略系的均勻加速運動。在K 和K』周圍有許多物體。此物體相對於K是靜止的。因此這些物體相對於K』有一個相同的加速運動。這個加速度對所有的物體都是相同的,並且與K』相對於K的加速度方向相反。我們說過,在一個引力場中所有物體的加速度的大小都是相同的,因此其效果等同於K』是靜止的並且存在一個均勻的引力場。 
  因此如果我們確立等同原理,物體的兩種質量相等只是它的一個簡單推論。 這就是為什麼(質量)等同是支持等同原理的一個重要論據。 
  通過假定K』靜止且引力場存在,我們將K』理解為一個伽利略系,(這樣我們就可以)在其中研究力學規律。由此愛因斯坦確立了他的第四個原理。 

13 廣義相對論 -主要內容

愛因斯坦提出「等效原理」,即引力和慣性力是等效的。這一原理建立在引力質量與慣性質量的等價性上。根據等效原理,愛因斯坦把狹義相對性原理推廣為廣義相對性原理,即物理定律的形式在一切參考系都是不變的。物體的運動方程即該參考系中的測地線方程。測地線方程與物體自身固有性質無關,只取決於時空局域幾何性質。而引力正是時空局域幾何性質的表現。物質質量的存在會造成時空的彎曲,在彎曲的時空中,物體仍然順著最短距離進行運動(即沿著測地線運動——在歐氏空間中即是直線運動),如地球在太陽造成的彎曲時空中的測地線運動,實際是繞著太陽轉,造成引力作用效應。正如在彎曲的地球表面上,如果以直線運動,實際是繞著地球表面的大圓走。 
  引力是時空局域幾何性質的表現。雖然廣義相對論是愛因斯坦創立的,但是它的數學基礎的源頭可以追溯到歐氏幾何的公理和數個世紀以來為證明歐幾里德第五公設(即平行線永遠保持等距)所做的努力,這方面的努力在羅巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到達了頂點:他們指出歐氏第五公設是不能用前四條公設證明的。非歐幾何的一般數學理論是由高斯的學生黎曼發展出來的。所以也稱為黎曼幾何或曲面幾何,在愛因斯坦發展出廣義相對論之前,人們都認為非歐幾何是無法應用到真實世界 
 
光波從一個大質量物體表面出射頻率發生紅移
中來的。 
  在廣義相對論中,引力的作用被「幾何化」——即是說:狹義相對論的閔氏空間背景加上萬有引力的物理圖景在廣義相對論中變成了黎曼空間背景下不受力(假設沒有電磁等相互作用)的自由運動的物理圖景,其動力學方程與自身質量無關而成為測地線方程: 
  而萬有引力定律也代之以愛因斯坦場方程: 
  R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv  
  (Rμν-(1/2)gμνR=8GπTμν/(c*c*c*c) -gμν) 
  其中 G 為牛頓萬有引力常數 
  該方程是一個以時空為自變數、以度規為因變數的帶有橢圓型約束的二階雙曲型偏微分方程。它以複雜而美妙著稱,但並不完美,計算時只能得到近似解。最終人們得到了真正球面對稱的準確解——史瓦茲解。 
  加入宇宙學常數后的場方程為: 
  R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv 

14 廣義相對論 -廣義相對論的宇宙現象與科研應用

按照廣義相對論,在局部慣性系內,不存在引力,一維時間和三維空間組成四維平坦的歐幾里得空間;在任意參考系內,存在引力,引力引起時空彎曲,因而時空是四維彎曲的非歐黎曼空間。愛因斯坦找到了物質分佈影響時空幾何的引力場方程。時間空間的彎曲結構取決於物質能量密度、動量密度在時間空間中的分佈,而時間空間的彎曲結構又反過來決定物體的運動軌道。在引力不強、時間空間彎曲很小情況下,廣義相對論的預言同牛頓萬有引力定律和牛頓運動定律的預言趨於一致;而引力較強、時間空間彎曲較大情況下,兩者有區別。廣義相對論提出以來,預言了水星近日點反常進動、光頻引力紅移、光線引力偏折以及雷達回波延遲,都被天文觀測或實驗所證實。近年來,關於脈衝雙星的觀測也 
 
從光源射出的光線途經緻密星體時發生偏折
提供了有關廣義相對論預言存在引力波的有力證據。 
  廣義相對論由於它被令人驚嘆地證實以及其理論上的優美,很快得到人們的承認和讚賞。然而由於牛頓引力理論對於絕大部分引力現象已經足夠精確,廣義相對論只提供了一個極小的修正,人們在實用上並不需要它,因此,廣義相對論建立以後的半個世紀,並沒有受到充分重視,也沒有得到迅速發展。到20世紀60年代,情況發生變化,發現強引力天體(中子星)和3K宇宙背景輻射,使廣義相對論的研究蓬勃發展起來。廣義相對論對於研究天體結構和演化以及宇宙的結構和演化具有重要意義。中子星的形成和結構、黑洞物理和黑洞探測、引力輻射理論和引力波探測、大爆炸宇宙學、量子引力以及大尺度時空的拓撲結構等問題的研究正在深入,廣義相對論成為物理研究的重要理論基礎。 

15 廣義相對論 -廣義相對論的實驗檢驗

在廣義相對論建立之初,愛因斯坦提出了三項實驗檢驗,一是水星近日點的進動,二是光線在引力場中的彎曲,三是光譜線的引力紅移。其中只有水星近日點進動是已經確認的事實,其餘兩項只是後來才陸續得到證實。60年代以後,又有人提出觀測雷達回波延遲、引力波等方案。 
1 水星近日點進動
  1859年,天文學家勒維利埃(Le Verrier)發現水星近日點進動的觀測值,比根據牛頓定律計算的理論值每百年快38角秒。他猜想可能在水星以內還有一顆小行星,這顆小行星對水星的引力導致兩者的偏差。可是經過多年的搜索,始終沒有找到這顆小行星。1882年,紐康姆(S.Newcomb) 
  經過重新計算,得出水星近日點的多餘進動值為每百年43角秒。他提出,有可能是水星因發出黃道光的瀰漫物質使水星的運動受到阻尼。但這又不能解釋為什麼其他幾顆 
 
懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
行星也有類似的多餘進動。紐康姆於是懷疑引力是否服從平方反比定律。後來還有人用電磁理論來解釋水星近日點進動的反常現象,都未獲成功。 
  1915年,愛因斯坦根據廣義相對論把行星的繞日運動看成是它在太陽引力場中的運動,由於太陽的質量造成周圍空間發生彎曲,使行星每公轉一周近日點進動為: 
  ε=24π2a2/T2c2(1-e2) 
  其中a為行星軌道的長半軸,c為光速,以cm/s表示,e為偏心率,T為公轉周期。對於水星,計算出ε=43″/百年,正好與紐康姆的結果相符,一舉解決了牛頓引力理論多年未解決的懸案。這個結果當時成了廣義相對論最有力的一個證據。水星是最接近太陽的內行星。離中心天體越近,引力場越強,時空彎曲的曲率就越大。再加上水星運動軌道的偏心率較大,所以進動的修正值也比其他行星為大。後來測到的金星,地球和小行星伊卡魯斯的多餘進動跟理論計算也都基本相符。 
2 光線在引力場中的彎曲
  1911年愛因斯坦在《引力對光傳播的影響》一文中討論了光線經過太陽附近時由於太陽引力的作用會產生彎曲。他推算出偏角為0.83″,並且指出這一現象可以在日全食進行觀測。1914年德國天文學家弗勞德(E.F.Freundlich)領隊去克里木半島準備對當年八月間的日全食進行觀測,正遇上第一次世界大戰爆發,觀測未能進行。幸虧這樣,因為愛因斯坦當時只考慮到等價原理,計算結果小了一半。1916年愛因斯坦根據完整的廣義相對論對光線在引力場中的彎曲重新作了計算。他不僅考慮到太陽引力的作用,還考慮到太陽質量導致空間幾何形變,光線的偏角為:α=1″.75R0/r,其中R0為太陽半徑,r為光線到太陽中心的距離。 
  1919年日全食期間,英國皇家學會和英國皇家天文學會派出了由愛丁頓(A.S.FEddington)等人率領的兩支觀測隊分赴西非幾內亞灣的普林西比島(Principe)和巴西的索布臘兒爾(Sobral)兩地觀測。經過比較,兩地的觀測結果分別為1″.61±0″.30和1″.98±0″.12。把當時測到的偏角數據跟愛因斯坦的理論預期比較,基本相符。這種觀測精度太低,而且還會受到其他因素的干擾。人們一直在找日全食以外的可能。20世紀60年代發展起來的射電天文學帶來了希望。用射電望遠鏡發現了類星射電源。1974年和1975年對類星體觀測的結果,理論和觀測值的偏差不超過百分之一。 
3 光譜線的引力紅移
  廣義相對論指出,在強引力場中時鐘要走得慢些,因此從巨大質量的星體表面發射到地球上的光線,會向光譜的紅端移動。愛因斯坦1911年在《引力對光傳播的影響》一文中就討論了這個問題。他以Φ表示太陽表面與地球之間的引力勢差,ν0、ν分別表示光線在太陽表面和到達地球時的頻率,得: 
  (ν0 -ν)/ν=-Φ/c2=2×10-6. 
  愛因斯坦指出,這一結果與法布里(C.Fabry)等人的觀 
 
行星繞恆星作公轉的比較
測相符,而法布里當時原來還以為是其它原因的影響。 
  1925年,美國威爾遜山天文台的亞當斯(W.S.Adams)觀測了天狼星的伴星天狼A。這顆伴星是所謂的白矮星,其密度比鉑大二千倍。觀測它發出的譜線,得到的頻移與廣義相對論的預期基本相符。 
  1958年,穆斯堡爾效應得到發現。用這個效應可以測到解析度極高的r射線共振吸收。1959年,龐德(R.V.Pound)和雷布卡(G.Rebka)首先提出了運用穆斯堡爾效應檢測引力頻移的方案。接著,他們成功地進行了實驗,得到的結果與理論值相差約百分之五。 
  用原子鐘測引力頻移也能得到很好的結果。1971年,海菲勒(J.C.Hafele)和凱丁(R.E.Keating)用幾台銫原子鐘比較不同高度的計時率,其中有一台置於地面作為參考鍾,另外幾台由民航機攜帶登空,在1萬米高空沿赤道環繞地球飛行。實驗結果與理論預期值在10%內相符。1980年魏索特(R.F.C.Vessot)等人用氫原子鐘做實驗。他們把氫原子鐘用火箭發射至一萬公里太空,得到的結果與理論值相差只有±7×10-5。 
4 雷達回波延遲
  光線經過大質量物體附近的彎曲現象可以看成是一種折射,相當於光速減慢,因此從空間某一點發出的信號,如果途經太陽附近,到達地球的時間將有所延遲。1964年,夏皮羅(I.I.Shapiro)首先提出這個建議。他的小組先後對水星、金星與火星進行了雷達實驗,證明雷達回波確有延遲現象。近年來開始有人用人造天體作為反射靶,實驗精度有所改善。這類實驗所得結果與廣義相對論理論值比較,相差大約1%。用天文學觀測檢驗廣義相對論的事例還有許多。例如:引力波的觀測和雙星觀測,有關宇宙膨脹的哈勃定律,黑洞的發現,中子星的發現,微波背景輻射的發現等等。通過各種實驗檢驗,廣義相對論越來越令人信服。然而,有一點應該特彆強調:我們可以用一個實驗否定某個理論,卻不能用有限數量的實驗最終證明一個理論;一個精確度並不很高的實驗也許就可以推翻某個理論,卻無法用精確度很高的一系列實驗最終肯定一個理論。對於廣義相對論的是否正確,人們必須採取非常謹慎的態度,嚴格而小心地作出合理的結論。 
愛因斯坦第四假設
  愛因斯坦的第四假設是其第一假設的推廣。它可以這樣表述:自然法則在所有的系中都是相同的。 
  不可否認,宣稱所有系中的自然規律都是相同的比稱只有在伽利略系中自然規律相同聽起來更「自然」。但是我們不知道(外部)是否存在一個伽利略系。 
  這個原理被稱作「廣義相對論原理」 
  死亡電梯 
   
  讓我們假想一個在摩天大樓內部自由下落的電梯,裡面有一個蠢人。 這人讓他的表和手絹同時落下。會發生什麼呢?對於一個電梯外以地球為參照系的人來說,表、手絹、人 
 
同一個天體在引力透鏡效應下的四個成像
和電梯正以完全一致的速度下落。(讓我們複習一下:依據等同性原理,引力場中物體的運動不依賴於它的質量。)所以表和地板,手絹和地板,人和表,人和手絹的距離固定不變。因此對於電梯里的人而言,表和手絹將呆在他剛才扔它們的地方。 
  如果這人給他的手錶或他的手絹一個特定的速度,它們將以恆定的速度沿直線運動。電梯表現得象一個伽利略系。然而,這不會永遠持續下去。遲早電梯都會撞碎,電梯外的觀察者將去參加一個意外事故的葬禮。 
  現在我們來做第二個理想化的試驗:我們的電梯遠離任何大質量的物體。比如,正在宇宙深處。我們的大蠢蛋從上次事故中逃生。他在醫院呆了幾年後,決定重返電梯。突然一個生物開始拖動這個電梯。經典力學告訴我們:恆力將產生恆定的加速度。(對於非常高速的情況這條規律不適用。因為一個物體的質量隨速度增加而增大。在我們這個試驗中我們假定它是正確的。)由此,電梯在伽利略系中將有一個加速運動。 
  我們的天才傻瓜呆在電梯里讓他的手絹和手錶下落。電梯外伽利略系中的人認為手錶和手絹會撞到地板上。這是由於地板因其加速度而向它們(手絹和手錶)撞過來。事實上,電梯外的人將會發現表和地板以及手絹和地板間的距離以相同的速率在減小。另一方面,電梯里的人會注意到他的手錶和手絹有相同的加速度,他會把這歸因於引力場。 
  這兩種解釋看起來似乎一樣:一邊是一個加速運動,另一邊是一致的運動和引力場。 
  讓我們再做一個實驗來證明引力場的存在。一束光通過窗戶射在對面的牆上。我們的兩位觀察者是這樣解釋的: 
  在電梯外的人告訴我們:光通過窗戶以恆定的速度(當然了!)沿一條直線水平地射進電梯,照在對面的牆上。但由於電梯正在向上運動,所以光線的照射點應在此入射點稍下的位置上。 
  電梯里的人說:我們處於引力場中。由於光沒有質量,它不會受引力場的影響,它會恰好落在入射點正對的點上。 
  噢!問題出現了。兩個觀察者的意見不一致。然而在電梯里的人犯了個錯誤。他說光沒有質量,但光有能量,而能量有一個質量(記住一焦耳能量的質量是:M=E/C^2)因此光將有一個向地板彎曲的軌跡,正象外部的觀察者所說的那樣。 
  由於能量的質量極小(C^2=300,000,000×300,000,000),這種現象只能在非常強的引力場附近被觀察到。這已經被證實:由於太陽的巨大質量,光線在靠近太陽時會發生彎曲。這個試驗是愛因斯坦理論(廣義相對論)的首次實證。 
  從所有這些實驗中我們得出結論:通過引入一個引力場我們可以把一個加速系視為伽利略系。將其引伸,我們認為它對所有的運動都適用,不論它們是旋轉的(向心力被解釋為引力場)還是不均勻加速運動(對不滿足黎曼(Riemann)條件的引力場通過數學方法加以轉換)。你看,廣義相對論與實踐處處吻合。 
  上述例子取自 「L'évolution des idées en Physique」 愛因斯坦和 Leopold Infeld 著。 

16 廣義相對論 -廣義相對論-天體物理學上的應用

引力透鏡
  愛因斯坦十字:同一個天體在引力透鏡效應下的四個成像 
  引力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體,當觀測天體的質量和相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像,這種效應被稱作引力透鏡。受系統結構、尺寸和質量分佈的影響,成像可以是多個,甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環,或者圓環的一部分弧。最早的引力透鏡效應是在1979年發現的,至今已經發現了超過一百個引力透鏡。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微引力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到,很多微引力透鏡也已經被發現。 
  引力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具,它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分佈,並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡,還可對哈勃常數做出獨立的估計。引力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義。 
引力波天文學
  藝術家的構想圖:激光空間干涉引力波探測器LISA對脈衝雙星的觀測是間接證實引力波存在的有力證據(參見上文軌道衰減一節),然而對來自宇宙深處的引力波的直接觀測始終未能實現,這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一。現在已經有相當數量的地面引力波探測器投入運行,最著名的是GEO600、LIGO(包括三架激光干涉引力波探測器)、TAMA300和VIRGO;而美國和歐洲合作的空間激光干涉探測器LISA現在正處於開發階段,其先行測試計劃LISA探路者(LISAPathfinder 
 
激光空間干涉引力波探測器LISA
)將於2009年底之前正式發射升空。 
  對引力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野,人們能夠通過探測到的引力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體,可能來自於某些超新星爆發,甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴漲時代的某些烙印,例如假想的宇宙弦。 
黑洞和其它緻密星體
  基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星坍縮為黑洞並釋放出引力波的過程廣義相對論預言了黑洞的存在,即當一個星體足夠緻密時,其引力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中,一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星,而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心,一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用。 
  在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將引力能量轉換為電磁輻射。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制,著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流,這是一種噴射速度可接近光速的且方向性極強的高能等離子束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用,而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據。 
  黑洞也是引力波探測的重要目標之一:黑洞雙星的合併過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的引力波信號,並且在雙星合併前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合併時的距離,並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的引力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息。 
宇宙學
  威爾金森微波各向異性探測器(WMAP)拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程建立的,宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。 
  這個經修改的愛因斯坦場方程具有一個各向同性並均勻的解:弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規,在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數(例如宇宙的物質平均密度)通過天文觀測加以確定,人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性。這個模型的很多預言都是成功的,這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度、宇宙的大尺度結構以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」:宇宙微波背景輻射。 
  從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量,不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質,它們具有質量(即參與引力相互作用),但不參與電磁相互作用,即它們無法(通過電磁波)直接觀測到。目前在已知的粒子物理或其他什麼理論的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的 
 
一個無限的靜態閔可夫斯基宇宙的彭羅斯圖
描述。另外,對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示,我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響,而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說,宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程的某種能量形式決定的,這種能量被稱作暗能量,其本性也仍然不為所知。 
  在所謂暴漲模型中,宇宙曾在誕生的極早期(~10-33秒)經歷了劇烈的加速膨脹過程。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用經典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的,例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性,而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴漲模型的證據之一。然而,暴漲的可能的方式也是多樣的,現今的觀測還無法對此作出約束。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的,這涉及到發生在暴漲之前的、由經典宇宙學模型預言的大爆炸奇點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子引力理論來解答,而這個理論至今還沒有建立(參加下文量子引力)。 

17 廣義相對論 -廣義相對論-進階概念

因果結構和全局幾何
  一個無限的靜態閔可夫斯基宇宙的彭羅斯圖在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝,即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此,一個時空中所有光的世界線(零性測地線)包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是彭羅斯-卡特圖,在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」(數學上稱為緊化)在可被容納的有限時空區域內,而光的世界線仍然和在閔可夫斯基圖中一樣用對角線表示。 
  彭羅斯和其他研究者注意到因果結構的重要性,從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程的一個個特定解(或一族解),而是運用一些對所有測地線都成立的關係,如Raychaudhuri方程,以及對物質本性的非特異性假設(通常用所謂能量條件的形式來表述)來推導普適性結論。 
視界
  在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線,它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞:當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中后(相關長度為史瓦西半徑),沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速,黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過,從視界之外到視界之內的通道依然是存在的,這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障。 
  一個旋轉黑洞的能層,在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程的精確解,著名的解包括球對稱的史瓦西解(用來描述靜態黑洞)和反對稱的克爾解(用來描述旋轉定態黑洞,並由此引入了能層等有趣的屬性)。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質:研究表明經過一段相當長的時間后黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體,包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理:「黑洞沒有毛髮」,即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如,星體經過引力坍縮形成黑洞的過程非常複雜,但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單。 
  更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律,這被稱作黑洞(熱)力學,這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律,一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少,這類似於一個熱力學系統的熵;這個定律也決定了通過經典方法(例如,彭羅斯過程)不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集,而黑洞的表面積和它的熵成正比。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如,由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分,則可知黑洞的表面積也有可能減小,只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體,可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射;半經典理論計算表明它們確實存在有熱輻射,在這個機制中黑洞的表面引力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色,這種輻射稱作霍金輻射(參見下文量子理論一節)。 
  廣義相對論還預言了其他類型的視界模型:在一個膨脹宇宙中,觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測(所謂「粒子視界」),而未來的某些區域不能被影響(事件視界)。即使是在平直的閔可夫斯基時空中,當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界,這些視界也會伴隨有半經典理論中的盎魯輻射。 
奇點
  廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索,這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡,但愛因斯坦場方程的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇點,這些奇點上類時或類光的測地線會突然中止,而對於這些奇點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是,「奇點」往往可能並不是一個「點」:那些場方程的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下,不僅可能是一個「點」,還可以以其他幾何形式出現(比如克爾黑洞的「奇環」等)。一般意義上的奇點是指曲率奇點,這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量,例如里奇張量為無限大(曲率奇點是相對所謂坐標奇點而言的,坐標奇點本質上不屬於奇點的範疇:有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大,但本質上這些點不具有奇性,在其他合適的坐標下是光滑的,也不會產生無窮大的曲率張量)。描述未來的奇點(世界線的終結)的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇點,以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇點。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規,以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇點(世界線的開端),這被稱作大爆炸奇點,而有些還具有未來的奇點(大擠壓)。 
  考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的,人們很容易去猜測奇點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇點定理指出,奇點是廣義相對論的一個普遍特色結果,並且任何有質量的實體發生引力坍縮並達到一個特定階段后都會形成奇點,而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇點。不過奇點定理的內容基本沒有涉及到奇點的性質,這些關於確定奇點的一般結構(例如所謂BKL假說)的問題是當前相關研究的主要課題。另一方面,由於在對於物理規律的破壞方面而言,一個被包裹於視界之中的奇點被認為要好過一個「裸」的奇點,故而宇宙監督假說被提出,它認為所有未來的實際奇點(即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇點)都會被藏在視界之內,從而對外面對觀察者不可見,即自然界憎恨裸奇點。儘管還沒有實際證據證明這一點,有數值模擬的結果支持這一假說的正確性。 
演化方程
  每一個愛因斯坦場方程的解都是一個宇宙,這裡的宇宙含義既包括了整個空間,也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」,而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵,愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同:大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程(例如量子力學中的埃倫費斯特定理),即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知,其演化方程能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的引力場和其他場的更多區別還在於前者是自身相互作用的(是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的),並且不具有固定的背景結構(在宇宙尺度上會發生演化)。 
  為了更好地理解愛因斯坦場方程這個與時間有關的偏微分方程,可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解,其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式,在這種分解下廣義相對論的時空演化方程具有良好的性質:在適當的初始條件給定的情形下方程有解並且是唯一的。場方程的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎。 
全局和准局部量
  演化方程的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫:在愛因斯坦的理論中,一個系統的總質量(或能量)這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於,引力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局部化的能量。 
  儘管如此,試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的,在經典物理中,質量(或能量)的定義可以來自時間平移不變性的守恆量,或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中,從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義: 
  * 柯瑪質量:從類時的Killing矢量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量,表現為一個靜態時空的總能量; 
  * ADM質量:在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式,從中定義系統的總能量。 
  如果將一個系統的總質量中被引力波攜帶至無限遠處的能量除去,得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值,而動量和角動量也具有全局的相應定義。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試,例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式,例如環假說的某種更精確的形式。 
廣義相對論-和量子理論的關係
  如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一,那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝聚態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱。然而,如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。 
彎曲時空中的量子場論
  作為現代物理中粒子物理學的基礎,通常意義上的量子場論是建立在平直的閔可夫斯基時空中的,這對於處在像地球這樣的弱引力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似。而在某些情形中,引力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求引力場本身也被量子化,為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於經典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空,並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論。通過這種理論,可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子,這即是霍金輻射,並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發。如前文所述,霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用。 
量子引力
  物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性,以及廣義相對論中時空曲率無限大(意味著其結構成為微觀尺度)的奇點的出現,這些都要求著一個完整的量子引力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述,而其中的引力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述。儘管物理學家為此做出了很多努力,並有多個有潛質的候選理論已經發展起來,至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子引力理論。 
  一個卡拉比-丘流形的投影,由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除引力外的其餘三種基本相互作用,但試圖將引力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功,其結果是一個可被接受的引力的有效(量子)場理論,但在高能區域得到的模型是發散的(不可重整化)。 
  圈量子引力中的一個簡單自旋網路 
  試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論,在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子,而是一維的弦。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括引力在內的基本相互作用的大統一理論,其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性。在所謂第二次超弦理論革新中,人們猜測超弦理論,以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超引力,能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分,這種模型叫做M理論,它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子引力理論。 
  另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式(參見上文演化方程一節),其結果是惠勒-得衛特方程(其作用類似於薛定諤方程)。雖然這個方程在一般情形下定義並不完備,但在所謂阿西特卡變數的引入下,從這個方程能夠得到一個很有前途的模型:圈量子引力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構,並在離散的時間中演化。 
  取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留,並在什麼能量量級上需要引入變化,對量子引力的嘗試理論還有很多,例如動力三角剖分、因果組合、扭量理論以及基於路徑積分的量子宇宙學模型。 
  所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決,而且它們都在面臨一個共同的問題,即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子引力理論的預言,進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上,量子引力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能。 
當前進展
  在引力和宇宙學的研究中,廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型,至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此,仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的:對量子引力的尋求以及時空奇點的現實性問題依然有待解決;實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立;而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋,也許則真的是一種新物理學來臨的預告。不過,廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性:數學相對論學家正在尋求理解奇點的本性,以及愛因斯坦場方程的基本屬性;不斷更新的計算機正在進行黑洞合併等更多的數值模擬;而第一次直接觀測到引力波的競賽也正在前進中,人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的引力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後,廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域。 


18 廣義相對論 -相關連接

耶魯大學教學視頻:狹義與廣義相對論來自Google Video
相對論:狹義與廣義的理論   PDF
廣義相對論教學視頻   來自麻省理工學院教授Edmund Bertschinger
廣義相對論系列講義   來自2006年龐加萊研究所(入門和進階課程)
廣義相對論教程 作者約翰·貝伊茲
Sean Carroll.Lecture Notes on General Relativity.Arxiv. 加州理工學院的教授Sean Carroll所編寫的廣義相對論課堂講義,這是它的PDF版本。

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