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2002年國際數學家大會在北京召開,大會的會標是我國古代數學家趙爽畫的「弦圖」,體現了數學研究中的繼承和發展。

1趙爽

趙爽,又名嬰,字君卿。中國古代數學家、天文學家。三國時吳國人,一說魏晉人,或漢人,約生活於公元3世紀初。他研究過張衡的天文數學著作和劉洪的《乾象曆》,也提到過《九章算術》。
弦圖

  弦圖

他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀算經》,為該書寫了序言,並作了詳細註釋。其中一段530餘字的「勾股圓方圖」注文是數學史上極有價值的文獻。它記述了勾股定理的理論證明,將勾股定理表述為:「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦。」證明方法敘述為:「按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。」

2公式

如圖,2ab+(b-a)^2=c^2,化簡便得a^2+b^2=c^2。其基本思想是圖形經過割補后,面積不變。劉徽在註釋《九章算術》時更明確地概括為出入相補原理,這是後世演段術的基礎。
弦圖

  弦圖

趙爽在注文中證明了勾股形三邊及其和、差關係的24個命題。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a, √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b, √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他還研究了二次方程問題,得出與韋達定理類似的結果,並得到二次方程求根公式之一。此外,使用「齊同術」,在乘除時應用了這一方法,還在『舊高圖論」中給出重差術的證明。趙爽的數學思想和方法對中國古代數學體系的形成和發展有一定影響。
籍貫、生卒年不詳。

3由來

趙爽自稱負薪余日,研究《周髀》,遂為之作注,可見是一個未脫離體力勞動的天算學家。一般認為,《周髀算經》成書於公元前100年前後,是一部引用分數運算及勾股定理等數學方法闡述蓋天說的天文學著作。而大約同時成書的《九章算術》則明確提出了勾股定理以及某些解勾股形問題。趙爽《周髀算經注》逐段解釋《周髀》經文。而最為精彩的是附錄於首章的勾股圓方圖,短短500餘字,概括了《周髀算經》、《九章算術》《九章算術》以來中國人關於勾股算術的成就,其中包含了勾股定理勾股定理(這裡以a,b,c分別代表直角三角形的勾、股、弦三邊之長)a^2+b^2=C^2及其變形b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a),a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b),
c^2=2ab+(b-a)^2;有通過開帶從平方a^2+(b-a)a=1/2[c^2-(b-a)^2]求勾a,開平方a=[c^2-(c^2-a^2)]^1/2求勾a,開帶從平方(c-a)^2+2a(c-a)=c^2-a^2求勾弦差c-a的方法,以及c=(c-a)+a,c+a=b^2/(c-1), c-a=b^2/(c+a), c=[(c-a)^2+b^2]/2(c+a), a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)等公式,與上述公式對稱,也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式,又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b), b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a),c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)以及勾股差b—a與勾股並b+a的關係式(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2,a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2, b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2,進而由此給出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)],最後給出了由弦與勾(或股)表示的股(或勾)弦並與股(或勾)弦差之差:
(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2
(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2
趙爽用出入相補方法對上述公式作了證明。這些公式大都與《九章算術》及其劉徽注所闡述的相同,證明方法也類似,只是最後兩個公式為劉徽注所沒有,所用術語也與劉徽稍異。可見,這些知識是漢魏時期數學家們的共識。《疇人傳》說勾股圓方圖注「五百餘言耳,而後人數千言所不能詳者,皆包蘊無遺,精深簡括,誠算氏之最也」。

4文獻

原始文獻
[1](吳)趙爽註:周髀算經,見錢寶琮校點《算經十書》上冊,中華書局,
1963。
研究文獻
[2]錢寶琮主編:中國數學史,科學出版社,1964。
[3]錢寶琮:周髀算經考,見《錢寶琮科學史論文選集》,科學出版社,
1983。
[4](清)阮元主編:疇人傳,商務印書館重印本,1955。
(科學出版社《中國古代科學家傳記》)

5趙爽著作

趙爽,三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》,他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百餘字,並附有雲幅插圖(已失傳),這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果,最早給出並證明了有關勾股弦三邊及其和、差關係的二十多個命題,他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關係。
趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程和求根公式  在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關係,給出了重差術的證明。(漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術)。

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