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弱哥德巴赫猜想

標籤:數論

1簡介

在數論中,弱哥德巴赫猜想(又稱為奇數哥德巴赫猜想、三重哥德巴赫猜想或三質數問題)是這樣一個命題:
任何一個大於7的奇數都能被表示成三個奇質數的和。(一個質數可以被多次使用)
2013年5月,法國高等師範學校教授Harald Helfgott間接證明了該猜想。

2性質

這個猜想被稱為是「弱」的是因為如果哥德巴赫猜想成立,弱哥德巴赫猜想也成立———若任何一個大於4的偶數都是兩個奇質數的和,由於將每個大於4的偶數加3就可以得到一個大於7的質數,而3是一個奇質數,弱哥德巴赫猜想自然成立。

3研究情況

較早的關於這一猜想的特殊的或在一定條件下的研究成果如下:1923年,英國數學家Hardy和Littlewood證明若廣義黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想對所有足夠大的奇數成立。1937年,蘇聯數學家Ivan Matveevich Vinogradov證明Hardy和Littlewood的結論可以在不依賴廣義黎曼猜想的情況下直接得到證明。Vinogradov原始的證明,由於使用了Siegel–Walfisz定理,無法給出「充分大」的下界。他的學生K. Borozdin在1956年證明3^3^15是充分大的。然而這一數字有6,846,169位,要驗證比該數小的所有數是完全不可行的。
2002年,香港大學的廖明哲與王天澤把「充分大」的下限降至e^3100,即約2*10^1346。不過這仍然超出了計算機驗證的範圍(計算機僅對10^18以下的數驗證過強哥德巴赫猜想,弱哥德巴赫猜想的驗證範圍比此略多)。不過這一下限已經足夠小,使得比其小的單個奇數都可以用現有的素性測試來驗證,如橢圓曲線素性測試已被用來驗證多達26,643位數的素性。
1997年,德國數學家Deshouillers,瑞典數學家Effinger,荷蘭數學家te Riele與英國數學家Zinoviev證明,在廣義黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。這一結果由兩部分構成,其一是證明了大於10^20時弱哥德巴赫猜想成立,而小於此數的情況則由計算機驗證得到。
法國數學家Olivier Ramaré於1995年證明,不小於4的偶數都可以表示為最多六個素數之和,而Leszek Kaniecki則證明了在黎曼猜想成立的前提下,奇數都可表示為最多五個素數之和。2012年,澳大利亞數學家陶哲軒在無需黎曼猜想的情形下證明了這一結論。
2012年到2013年,法國數學家Harald Helfgott發表了兩篇論文,將這個下界降至了約10^30。[11-12]由於10^30以下的奇數都已經過計算機驗證都滿足弱哥德巴赫猜想,弱哥德巴赫猜想事實上已被證明。
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