1循環小數

一個數的小數部分從某一位起,一個或幾個數字依次重複出現的數叫循環小數。循環小數會有循環節(循環點)
循環小數英文名:circulating decimal
兩數相除,如果得不到整數商,會有兩種情況:一種,得到有限小數。一種,得到無限小數。
從小數點后某一位開始依次不斷地重複出現前一個或一節數字的十進位無限小數,叫做循環小數,如2.1666...*(混循環小數),35.232323...(循環小數),20.333333…(循環小數)等,其中依次循環不斷重複出現的數字叫循環節。循環小數的縮寫法是將第一個循環節以後的數字全部略去,而在第一個循環節首末兩位上方各添一個小點。例如:
2.966666... 縮寫為 2. 96(6上面有一個點;它讀作「二點九六,六循環」)
35.232323…縮寫為 35.23(2、3上面分別有一個點;它讀作「三十五點二三,二三循環」)
36.568568……縮寫為36.568(5、8上分別有一個點;它讀作「三十六點五六八,五至八循環」)
循環小數可以利用等比數列求和(附鏈接:等比數列)的方法化為分數。例如圖中的化法。
所以在數的分類中,循環小數屬於有理數。

2例如

循環小數的問題中,最著名的是0.999…是否等於1的問題代數方法為:
證明:
假設X=0.999...
10X = 9.999... 0.999...
9x = 9
x = 1
以上的推理過程都是比較嚴密的,並不是所謂0.3=1/3而0.9<1(這個才是最高級的證明,大家都要學會這種緊扣定義的證明方法,而不是這個看似嚴謹,其實缺乏嚴謹的證明)。在我們所使用的數學中, 0.9(9循環)=1。
lichangbai1947評論:這個證明有問題。因為沒有注意無窮的複雜性。其實上面的證明有兩個結果,一個是:
x=1
即上面已經得出的結果。但是如果從
10x=9.99...
出發,把兩邊同時除以10,則得到的還是
x=0.999....
這兩個結果中應該只有一個是正確的。很顯然,x=0.999...的結果比x=1的結果更可信。沒有仔細考察就對無窮進行推論是不合適的。
我已經證明了1不等於0.999...。
利用邏輯非常容易證明0.9…≠1。
請比較下面的兩個式子:
1=1-1/10 (n→∞) (1)
1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2)
這兩個式子顯然不完全相同,有差別。所以應該只有一個是正確的,不可能兩個都是正確的。稍微細心一些,就會看出(1.1)式的右側比(1.2)式的右側少一個1/10。所以(1.2)式肯定是正確的,而(1.1)式就不成立。
但是(1.1)式的右側就是0.9...。
而認為1/10=0會導致任何數都相等
如果認為
1/10=0(它是認為0.9…=1的直接推論)(3)
而且認為它是嚴格的相等,則由於「嚴格地相等」可以無窮遞推,即得到:
2×1/10=0, (4)
3×1/10=0, (5)
無窮地增加下去,總有一個時刻會得到:
10×1/10=0。 (6)
但是一個顯然的事實是:(1.2.4)式的右側等於1,而不是0。
再同樣地推下去,則任意兩個數都可以相等。這顯然太荒謬了。
還可以利用計算的數值的結果證明。但是需要微積分。故略。可以查看李長白數學網的有關文章。
以上方法嚴格講都是有缺陷的,真正的方法如下:
依照循環小數定義:
如1/3 在進行除法運算的時候,
在用三除的時候餘下的一位為1,這樣繼續進行下去的時候,根據歸納可知,這個小數後面會有無數個3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循環
然後我們看0.9 9循環
我們用1/1來進行計算,不同的是,我們不要一次將1除盡,我們直接退位進行計算
第一步就是得0.9餘0.1,這個沒有問題,也不違反任何運算規則,
通過這樣的方式計算,可以得出1/1通過除法運算的時候可以表示為0.9 9循環
即0.9 9循環等於1
證畢
沒有用到極限(根本和循環小數無關的),和循環小數運演算法則!
只用了分數除法,和循環小數定義!

3注意

特別注意的是:
無理數的定義是無限不循環小數,由此可以判定無限不循環小數是無理數(因為定義也是判定)。
循環小數化分數
將純循環小數改寫成分數,分子是一個循環節的數字組成的數;分母各位數字都是9,9的個數與循環節中的數字的個數相同.
例如:
0.1=1/9 0.1234=1234/9999
混循環: 將混循環小數改寫成分數,分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數,減去不循環部分數字組成的數之差;分母的頭幾位數字是9,末幾位數字是0,9的個數跟循環節的數位相同,0的個數跟不循環部分的數位相同.
例如: 0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900
這個概念是錯的
有限小數的小數位數是有限的
循環小數的小數位數是無限的
因此,有限循環小數這個說法本身就是錯誤的,希望有許可權的編輯者對這個詞條的定義進行更改。
上一篇[大庭廣眾]    下一篇 [有機設計]

相關評論

同義詞:暫無同義詞