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微分中值定理

標籤:微積分

微分中值定理是一系列中值定理總稱,是研究函數的有力工具,其中最重要的內容是拉格朗日定理,可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。

1羅爾定理

內容:
如果函數f(x)滿足:
在閉區間[a,b]上連續;
在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函數值相等,即f(a)=f(b),
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.
幾何上,羅爾定理的條件表示,曲線弧 (方程為 )是一條連續的曲線弧 ,除端點外處處有不垂直於x軸的切線,且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明,
弧上至少有一點 ,曲線在該點切線是水平的.:

2泰勒公式

內容 :若函數f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關於(x-x.)多項式和一個余項的和:
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該余項稱為拉格朗日型的余項。
(註:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。)
推論:麥克勞林公式
內容:
若函數f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關於x多項式和一個余項的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裡0<θ<1.

3達布定理

內容:
若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
推廣:若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。

4洛必達法

內容:
設(1)當x→a時,函數f(x)及F(x)都趨於零;
(2)在點a的去心鄰域內,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;
(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又設
(1)當x→∞時,函數f(x)及F(x)都趨於零;
(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0;
(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

5中值定理

拉格朗日定理
內容:
如果函數 f(x) 滿足:
1)在閉區間[a,b]上連續;
2)在開區間(a,b)內可導。
那麼:在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

柯西定理

內容:
如果函數f(x)及F(x)滿足
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
(3)對任一x∈(a,b),F'(x)≠0
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
[中值定理]分為: 微分中值定理和積分中值定理:
以上四個為微分中值定理定積分第一中值定理為:
f(x)在a到b上的定積分等於f(ξ)(b-a)(存在a<ξ<b使得該式成立)
以下為導數的應用:
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