標籤:微積分分析學微積分學

微分學與積分學聯繫密切,共同組成分析學的一個基本分支──微積分學。

1概述

微分學研究函數的導數與微分及其在函數研究中的應用。建立微分學所用的分析方法對整個數學的發展產生了深遠的影響,運用到了許多數學分支中,滲透到自然科學與技術科學等極其眾多的領域。微分學的作用是在自然科學中用數學來不僅僅表明狀態,並且也表明過程(運動)。微分學的基本思想在於考慮函數在小範圍內是否可能用線性函數或多項式函數來任意近似表示。直觀上看來,對於能夠用線性函數任意近似表示的函數,其圖形上任意微小的一段都近似於一段直線。在這樣的曲線上,任何一點處都存在一條惟一確定的直線──該點處的「切線」。它在該點處相當小的範圍內,可以與曲線密合得難以區分。這種近似,使對複雜函數的研究在局部上得到簡化。微分學的基礎是建立在實數、函數、極限、連續性等一組基本概念之上的。微分學主要研究以下內容。

2導數

微分學的核心概念,主要始原於研究如何確定非勻速直線運動質點的瞬時速度與平面曲線上一點處的切線方向。
切線方向
若質點作曲線運動,則在每一瞬時,運動的特徵首先表現在方向上。對質點運動瞬時方向的數量分析也將導致對函數施加與計算瞬時速度類似的運算。
(圖3)

  (圖3)

設一個質點在一平面上運動,其軌跡在取定一個笛卡兒坐標系后可以表示成曲線y=ƒ(x)。如果要考慮怎樣確定質點運動到曲線上一任意給定點px,y)時的瞬時方向(圖1),為此在曲線上取p的一鄰近點Q(x1,y1)。很容易看到割線pQ的方向近似於質點在p處的瞬時方向,而且一般說來,x1愈接近x,近似程度就愈好。如果當Q沿曲線趨近p,割線pQ趨近某個極限位置pT,則佔據這個極限位置的直線就稱為曲線在點p
(圖4)

  (圖4)

處的切線,這切線的方向就是運動質點在點p處的瞬時方向。切線pT與橫軸的夾角θ,就應當是割線pQ與橫軸夾角φ的極限。因此切線pT的斜率k=tanθ可以如下計算:(圖3) 若令Δx=x1-x,則有(圖4)只要這個極限存在,就決定了曲線y=ƒ(x)在點p(x,y)處的切線的方向。
羅爾定理
1690年法國數學家M.羅爾首先發現,在閉區間上連續,區間內可微,在區間端點取等值的函數,其圖形上至少存在一點,圖形在該點的切線是「水平」的(圖3)。與這個結論等價的是拉格朗日定理。
柯西中值定理
若函數ƒ(x)與g(x)在閉區間【α,b】上連續,在開區間(α,b)內可微,則在這個區間內至少存在一點ξ,使得 當g(x)=x時,上面定理與拉格朗日定理有同一形式,所以柯西中值定理是拉格朗日定理的最一般的形式。
洛必達法則 法國數學家 G.-F.-A de洛必達於1696年在他的名著《無窮小分析》中,給出了一種確定未定式值的方法:如果函數ƒ(x)與g(x)在區間(α,b)內可微,g┡(x)≠0,又如果極限過程xα+0也可以換成別的極限過程(xb)-0,x→с,x→∞)。由於所考慮的比ƒ(x)/g(x)在極限過程中形式上趨於或,不能一般地定值,所以稱為未定式。通過洛必達法則可以由ƒ┡(x)/g┡(x)的極限來確定ƒ(x)/g(x)的極限。應當注意的是,如果ƒ┡(x)/g┡(x)的極限不存在,並不能肯定ƒ(x)/g(x)的極限也不存在。此外還有0·∞,∞-∞,00,1∞及∞0幾種類型的未定式,但它們都可以先經過適當代數變換化歸型或型,然後用洛必達法則定值。  泰勒公式  多項式是最簡單的一類初等函數。由於它本身的運算僅是有限次加減法和乘法,所以在數值計算方面,多項式是人們樂於使用的工具。對於一個任意給定的函數ƒ(x),總希望能找到一個n次多項式p(x),它至少在局部上與ƒ(x)相當接近,因而在數值計算上能代替ƒ(x)。  如果函數ƒ(x)在某點x=x0附近本來就是一個多項式 逐次微分便給出 當n式中 稱為函數ƒ(x)在點x=x0處的n次泰勒多項式。對一般函數ƒ(x),前面的估計式也可以成立,只要ƒ(x)在點x=x0處n次可微。因為這時只要寫出恆等式並重複使用洛必達法則便可以得到 故仍然有 這裡余項的估計式 稱為余項的皮亞諾形式。此外常用的還有餘項的拉格朗日形式 式中ξ 位於x0與x之間的某一點。也有餘項的柯西形式 。
當然這裡都假定ƒ(n+1)(x)在x到x0之間處處存在。如果ƒ(n+1)(x)在x與x0之間處處連續,則有餘項的積分形式  通常,稱原點x0=0處的泰勒公式為馬克勞林公式,即 或 式中ξ介於0到x之間。

3研究方面

根據導數的幾何意義和微分的運演算法則,函數的數量可在其幾何意義的指導下運用微分運算來進行研究。
單調性
如果函數取值隨自變數的增大而增大,則稱函數是單調增大的。反之,如果函數的取值隨自變數的增大而減小,則稱函數是單調減小的。單調增大和單調減小統稱為單調。
考慮可微函數y=ƒ(x),其圖形如圖5。在其導數為正的區間,例如區間(x2,x4)內任取一點,比如x3,則曲線上對應點處切線的傾角必介於0到π/2之間,因而曲線在x3附近(從左到右)必定是上升的。故在區間(x2,x4)內函數是單調增大的;而在函數的導數為負的區間,例如區間(α,x2)內恰恰相反,函數是單調減小的。
凹凸性
對於可微函數y=ƒ(x)來說,隨著自變數x取值的變化,函數曲線的切線的傾角也隨之在變化。如果隨x增大傾角減小,則稱曲線向上凸,或凸,如圖5曲線在BD之間的弧。當ƒ″(x)存在而且小於零時,ƒ┡(x)單調減小, 即切線的傾角隨x增大而減小,因而曲線向上凸。反之,如果ƒ″(x)存在,而且大於零,則曲線向下凸或凹。

拐點

如果曲線經過一點時凹凸性發生變化,該點就稱為曲線的一個拐點,如圖5中的BE都是曲線的拐點。如果ƒ″(x)在拐點附近連續且變號則在拐點處必有ƒ″(x)=0。但應注意,不是所有使ƒ″(x)=0的點都必定是拐點,如曲線y=x4上的(0,0)點。  漸近線  某些曲線,例如雙曲線、拋物線都是有伸向無限遠的分支的曲線。對於這樣的曲線,可能存在具有以下性質的直線:當動點在無窮分支上移向無窮遠時動點與該直線的距離(水平或垂直)趨向於零。這種直線稱為曲線的漸近線。一般地說,一條不與x軸垂直的直線y=mx+b稱為曲線y=ƒ(x)的一個漸近線,是指差數ƒ(x)-mx-b
x趨於正無窮或負無窮時趨於零。當x從左邊或右邊趨於α時,|ƒ(x)|可以任意大,則稱垂直於x軸的直線x=αy=ƒ(x)的一條「鉛直的」漸近線。斜漸近線的方程的係數m與b可以由極限 來確定。在x→+∞及x→-∞時m和b可能各有兩組不同的取值。
運用上述函數變化的各種狀態,就容易在適當取定少數幾個關鍵點的基礎上,作出所給函數的相當準確的圖形。例如考慮函數 的圖形。首先可以注意到,函數曲線與坐標軸沒有交點,並且由於滿足條件ƒ(x)=-ƒ(-x),函數曲線關於坐標系原點是對稱的。由於它的一階和二階導數分別有 所以當x>0時曲線下凸,當x<0時,曲線上凸。在x=1處,函數達到極小值,在x=-1處函數達到極大值,並且y軸與直線y=x分別是曲線的兩條漸近線。利用所得函數的這些特徵,只要選取x=1,,2(或者再添上x=,3)就可以相當準確地畫出函數的圖形來(圖6)。
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