標籤:微積分拓撲學

微分形式(differential form)是多變數微積分,微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法,都是由著名法國數學家埃里·卡當(Elie Cartan)引入的。

1定義

微分形式是微分幾何學中最基本的概念。 我們首先以n維 歐氏空間R^n為例, 來解釋微分形式。 設(x_1,...x_n)是歐氏空間坐標。 在這個空間中, 我們有自然的度量, 即歐幾里得度量, 它的微分表達式為
ds^2=dx_1^2+...dx_n^2。 這裡dx_i是傳統的一階微分。而 dx_i^2 指的是 dx_i和它自己的在域R上的張量積。類似地,ds是無窮小向量dr的模長,而ds^2是ds和自己在域R上的張量積。
把dx_1(p),...dx_n (p)作為基向量,其中,p為R^n中的一個點,以實常數為係數,可以生成域R上的一個n維的向量空間T^*, 稱為R^n在點p的餘切空間,在線性同構的意義下,它就是R^n自己而已;而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函數,則上述的n個基向量可以生成函數環上的一個n秩的模,叫做一階外微分形式模。在代數幾何中,這個模是很常用的。
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另一方面, 對一個n維向量空間V, 假設e1, ...,e_n 是基向量. 我們可以定義r次外積空間A^r(V), 這個空間由以下形式的外積(有時也稱楔積)作為基元素生成:e_{i1}∧e_{i2}∧...e_{ir}, 這裡1≦i1≦i2≦...≦ir≦n.
今取V=T^*, 則A^r(T^*)中的元素稱為r次微分形式, 它可以寫成基元素dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}的線性組合。 這裡每個基元素前的係數可以視作坐標(x_1,...x_n) 的函數。
微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構成一個外代數。

2性質

微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。 比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一個r次微分形式, 那麼dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之,
我們有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 這個映射稱為外微分。
易知兩次外微分的複合等於零, 即dd=0,即poincare(龐加萊)引理. 一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件,我們就得到所謂的DeRham復形, 由這個復形,就導出了所謂的DeRham上同調, 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。
楔積法則:d(x∧y)=dx∧y+(-1)^(degx)*x∧dy.
此外, 外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式, 即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式,斯托克斯公式的概括和總結,是單變數微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變數中的推廣。

3斯托克斯定理

利用外微分和積分運算, 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是說一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分,就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況, 都是經典微積分理論中的重要公式, 比如牛頓萊布尼茲公式, 高斯公式, 格林公式 等等。
斯托克斯定理表明, 外微分運算元d和拓撲圖形的邊緣運算元是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。

4例子

取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那麼dω=(Q_x-P_y)dx∧dy, 這裡Q_x是Q關於x的偏導數,其餘類似。
此時的斯托克斯公式就是格林公式, 即線積分可以轉化為面積分。

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