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微分方程,是指含有未知函數的導數或微分的等式稱為微分方程。是數學的重要分支之一。大致和微積分同時產生,並隨實際需要而發展。

1 微分方程 -概念

定義(1)

含有未知函數的導數或微分的等式稱為微分方程。未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程;未知函數為多元函數的微分方程稱為偏微分方程

常微分方程與偏微分方程的總稱。含自變數、未知函數和它的微商(或偏微商)的方程稱為常(或偏)微分方程。未知函數為一元函數的微分方程,稱為常微分方程。未知函數為多元函,從而出現多元函數的偏導數的方程,稱為偏微分方程。

定義(2)

微分方程中所出現的未知函數的導數或微分的最高階數稱為微分函數的。滿足微分方程的函數稱為微分方程的。求一個微分方程的解的過程稱為解微分方程

定義(3)

如果常微分方程的解中含有獨立的任意常數(「獨立」指不能將不同的常數合併),且獨立的任意常數的個數與方程的階相同,則這樣的解稱為方程的通解;不含任意常數的解稱為特解

由通解確定通解時,通常需要一些函數值和導數值,這些已知的函數值和導數值稱為方程的初值初始條件,把微分方程和其初值合到一起,稱為微分方程的初始問題

  n階微分方程的初值問題的一般形式為

微分方程微分方程的基本形式

 

2 微分方程 -來源歷史

微分方程微分方程

微分方程研究的來源:它的研究來源極廣,歷史久遠。I.牛頓和G.W.萊布尼茨創造微分和積分運算時,指出了它們的互逆性,事實上這是解決了最簡單的微分方程y┡=ƒ(x)的求解問題。當人們用微積分學去研究幾何學、力學、物理學所提出的問題時,微分方程就大量地湧現出來。

20世紀以來,隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產生和發展,也出現不少新型的微分方程(特別是方程組)。70年代隨著數學向化學和生物學的滲透,出現了大量的反應擴散方程。

從「求通解」到「求解定解問題」  數學家們首先發現微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數,其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數,其個數隨方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素(即任意常數或任意函數)作儘可能的變化,人們就可能得到方程所有的解,於是數學家就把這種含有任意元素的解稱為「通解」。在很長一段時間裡,人們致力於「求通解」。但是以下三種原因使得這種「求通解」的努力,逐漸被放棄。 第一,能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面,一階方程中可求得通解的,除了線性方程、可分離變數方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外,為數是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一類逆運算,那麼,也和熟知的逆運算一樣,它是帶試探性而沒有一定的規則的,甚至有時是不可能的(J.劉維爾首先證明黎卡提方程不可能求出通解),何況這種通解也是隨著其自由度的增多而增加其求解的難度的。第二,當人們要明確通解的意義的時候(在19世紀初葉分析奠基時期顯然會考慮到此問題)就會碰到嚴重的含糊不清之處,達布在他的教學中經常提醒大家注意這些困難。這主要發生在偏微分方程的研究中。
第三,微分方程在物理學、力學中的重要應用,不在於求方程的任一解,而是求得滿足某些補充條件的解。A.-L.柯西認為這是放棄「求通解」的最重要的和決定性的原因。這些補充條件即定解條件。求方程滿足定解條件的解,稱之為求解定解問題。
早期由於外彈道學的需要,以及40年代由於高速氣動力學研究激波的需要,擬線性一階雙曲組的間斷解的研究更得到了重大發展,蘇聯和美國學者作出了貢獻。泛函分析和偏微分方程間的相互聯繫,相互促進發展,首先應歸功於法、波、蘇等國學者的努力。
中華人民共和國建立后,微分方程得到了重視和發展。培養了許多優秀的微分方程的工作者,在常微分方程穩定性、極限環、結構穩定性等方面做出了很多有水平的結果;在偏微分方程混合型刻畫滲流問題的擬線性退縮拋物型、橢圓組和擬線性雙曲組的間斷解等方面做出了很多有水平的結果。

3 微分方程 -應用

平面二次曲線方程含有五個參數,兩端對x求五次微商,連同原方程共得六個方程,消去參數就得到微分方程

微分方程。    (1)

又如曲面變形論提出了微分方程組

微分方程  (2)

幾何學提出的微分方程很多。(J.-)G.達布的《曲面一般理論教程》一直是這方面值得參考的書。
變分學中令積分取極值的必要條件歐拉方程一般是非線性微分方程(或組)。
剛體力學的基本方程就是一個微分方程組。流體力學的基本方程就是所謂納維-斯托克斯方程,彈性力學的方程一般是高階方程。電磁學提出了著名的拉普拉斯方程微分方程,光學和聲學提出了波動方程微分方程,熱學提出了熱傳導方程微分方程,量子力學中提出了薛定諤方程微分方程。 

4 微分方程 -發展過程

從理論上講,若已知方程的通解,則只需選擇其中的任意元素使之滿足定解條件即可得出定解問題的解。而實際上這種選擇往往是非常難的,更不用說求得通解的困難了。相反地,如果把出現在定解條件中的數據或多或少地變動一下都能求得方程的一個解,那麼把這些數據作儘可能地變動時就可能求得方程所有的解即通解。就是採取了這種觀點,柯西和K.(T.W.)外爾斯特拉斯幾乎同時證明了常微分方程通解的存在性,而偏微分方程也從此得到了迅速的發展。
定解問題的定義和要求  方程(或稱泛定方程)

微分方程

是加在含m個自變數x1x2,…,xm的未知函數u及其各階偏微商上的一個關係,即若把u和由它而得的它的各階偏微商(至少是方程中出現的)都代入F中,則所得結果對於Rm中的某區域Ωm的所有內點x1x2,…,xm來說,都要求恆等於零;但對於Ωm的邊界點來說,並不作這樣的要求。
至於定解條件當xm=0時微分方程微分方程則是在Rm中(m-1)維流形xm=0上被滿足的。這時,xm=0就稱為支柱。xm=0有時是Ωm中的一個(m-1)維流形,有時就是Ωm的邊界дΩm或дΩm的一部分。所謂當xm=0時有微分方程微分方程,就是在Ωm內當xm=0附近任一點沿任一曲線趨近於xm=0上任一點(x嬼,x嬽,…,x圛)時,u趨近於u0(x嬼,x嬽,…,x圛)。在這種理解下,P.班勒衛指出了這時u0(x1,x2,…,xm-1)應是連續的。定解條件
  當xm=0時,

微分方程

當然也應是在Rm中一(m-1)維流形xm=0上被滿足的。這時,xm=0仍被稱為支柱,但對微商取值的理解有兩種:一是把它看作當xm趨近於0時

微分方程

的極限。二是把它看作微分方程xm趨近於0時的極限。顯然,若第二種理解成立則第一種理解必然成立。反之則不盡然。
應該指出,也可以用微分方程微分方程微分方程或更一般地用Rm中任何一個(m-1)維流形來代替xm=0,它們這時也都被稱為支柱。對函數取值和微商取值若要作上述理解,還需對支柱作必要的正規要求,例如支柱至少是一個若爾當流形等等。

由於一階常微分方程的一般形式是F(x,y,y┡)=0,要應用柯西定理,就必需應用隱函數理論解出y┡。在不滿足隱函數定理的條件的情況,常常就是產生奇解的情況。克萊羅方程就是一個最簡單的例子。定解問題研究的開展,大大幫助了對奇解的了解。
柯西提出定解問題的時代也是複變函數論開始蓬勃發展的時代,「兩個實域真理間的最短途徑時常是通過一個復真理的」影響,這是當時特別流行的說法,復域里常微分方程理論(即復解析理論)得到了發展。從推廣柯西定理的布里奧-布凱定理,從(J.-)H.龐加萊的工作到班勒衛、J.馬爾姆奎斯特等人的工作,最引人注目的是在線性方程方面,從I.L.富克斯的結果開始一直到龐加萊的自守函數理論已很完整。但是在非線性方面顯然沒有取得如此令人滿意的成果,其原因可能是多複變函數的奇點理論和解析開拓尚有待發展。
二階常微分方程的柯西問題

微分方程

不是泛定方程(E2)惟一可以提出的定解問題。人們還可以提出如下的邊值問題(相當於二階偏微分方程的狄利克雷問題):

(D1):   微分方程

這兩個問題均可歸結為線性積分方程。前者可歸結為第二種沃爾泰拉積分方程,後者則是第二種弗雷德霍姆積分方程。沃爾泰拉方程可以看作弗雷德霍姆方程的特例,但不同的是後者有本徵值、本徵函數問題,而前者沒有。邊值問題和由它而引起的本徵值、本徵函數問題,不僅有理論上的價值,為人們提供很多特殊函數,而且有實用價值(特徵值問題在大型建築中必需考慮到)。在橢圓型偏微分方程的邊值問題中同樣也引起本徵值和本徵函數問題。
在柯西的倡導下,人們從「求通解」的時代進入了「求解定解問題」的時代,隨著龐加萊的定性理論,常微分方程又從「求解定解問題」的時代進入「求所有解」的時代。
稍後,D.伯克霍夫在動力系統方面開闢了一個新領域。近年來,由於拓撲方法的滲入,更加得到發展。蘇聯Α.М.李亞普諾夫在運動穩定性方面的工作,對天文學、物理學以及工程技術有廣泛應用,極受重視。
此外,在考慮時滯問題時,人們還創立了差分微分方程。近年來,泛函微分方程有很大發展。泛函微分方程是差分微分方程的推廣。
柯西曾把他有關常微分方程方面的結果推廣到一階偏微分方程組的柯西問題,但他在偏微分方程中所考慮的方程並沒有象在常微分方程中所考慮的方程那樣有代表性。因此,後來又引進了模組的概念,柯西和稍後的С.Β.柯瓦列夫斯卡婭都用長函數法證明了模組柯西問題的解析解是惟一存在的。模的概念顯然依賴於支柱。從而引入了特徵的概念。應特別注意,有些組的特徵表達式A能恆等於零,其中有些方程組是比較重要的,例如方程(2)就是這樣的,廣義相對論的基本方程組也是這樣的。
20世紀初才由E.霍姆格倫在方程是非重特徵的、係數是解析的、支柱是解析的而非特徵的條件下,證明了解的惟一性。阿達馬指出,只要能在方程是非重特徵的、係數是非解析的、支柱是非特徵的條件下證明霍姆格倫定理,則該定理在方程是非重特徵的、非線性的、非解析的、支柱是非特徵的條件下仍是正確的。至於連續依賴性則並不成立,阿達馬的著名例子

微分方程

就說明這個問題。
阿達馬分析了他以前和當時的有關線性二階偏微分方程的工作,緊緊抓住「形式相似的方程卻有迥然不同的適定問題」這個矛盾,反覆論證,終於發現了長期未被注意的事實,即柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理在方程、支柱和數據有一非解析時是不真的。例如Δu=0在支柱z=0的柯西問題在數據不都是解析時未必是有解的。誠然,雙側的解(即z≤0和z≥0時都存在的解)不存在,因為根據杜恩定理,若存在,則兩個數據必然都是解析的。單側的解也不存在,因為否則用照像法(實際上是一種解析開拓),則雙側解也將存在,但解析方程微分方程,解析支柱t=0、非解析數據的柯西問題卻是實際中提出的,理論證明是適定的。
阿達馬提出了基本解。這不僅是他對前人工作的總結,而且從他本人以前的成就也必然得到這個重要概念。有了基本解,模雙曲型方程的柯西問題的解,只要支柱是空向的,已給數據適當正規,就可以用一個發散積分的有限部分來表示;橢圓型方程就可以形成勢代表解,並通過這個勢滿足的弗雷德霍爾姆型積分方程求得狄里克雷問題的解。間接地求拋物型方程的基本解的步驟也是阿達馬提出來的。他有一句名言:「所有線性偏微分方程問題應該並且可以用基本解來解決。」
在V.沃爾泰拉暗示下,G.F.特里科米進行了混合型方程的所謂特里科米問題的研究。所謂混合型方程,是指在蛻型線L一側是橢圓型,在另一側是雙曲型的方程;1927年特里科米證明了解的存在性。雖然蘇聯學者C.A.洽普雷金在V.沃爾泰拉之前已在射流理論中提出更一般的混合型方程即洽普雷金方程,但只有在40年代由於超音速飛機的製造,在跨音速氣動力學中這類方程才大受重視。M.H.普羅特爾證明了洽普雷金方程特里科米問題的解的惟一性,蘇聯學者A.B.比察澤也在這方面做了大量有意義的工作。由於滲流的研究,促進了擬線性退縮拋物型方程的研究發展,蘇聯學者為此作出了貢獻。
    

5 微分方程 -發展中產生的問題

一個方程或方程組的定解問題一旦提出,就產生下列三個問題。

①存在性問題,即這個定解問題是否有解。

②惟一性問題,即其解是否惟一。

③連續依賴性問題,即解是否連續依賴於數據,亦即是否是數據的某階連續泛函。
若定解問題的解是存在的、惟一的、連續依賴於數據的,則這個定解問題稱為適定的。對它就可以進行計算。一般而言,只有適定問題計算才有意義。這樣,微分方程的研究成果才能為實際所應用。
如果對上述三個問題的回答有一個是否定的,這個定解問題就稱為不適定的。一般,不適定問題是原來用來刻畫實際規律的數學模型不恰當,必須另建合適的數學模型。不適定問題也是需要研究的,這種研究有時會導致理論上的新發展。
定解問題研究的發展  對常微分方程最早提出的定解問題是柯西問題(C): 微分方程

柯西問題(C)是適定的,其根據是柯西定理:若ƒ(x,y)在|x-x0|≤α,|y-y0|≤b上連續,並滿足李普希茨條件微分方程,則柯西問題(C)在滿足條件微分方程下,存在惟一的連續依賴於y0的連續解。由於泛定方程的任一解當x=x0時總要取一個值y0,因此就可以提出柯西問題(C)。由於惟一性,這個柯西問題的解一定就是所考慮的解,所以柯西問題(C)的解就是泛定方程的「通解」。
柯西利用L.歐拉早就提出的近似解法(所謂歐拉折線法)證明了當折線邊數無限增加、邊長無限縮小時,這些折線有一極限即(C)的惟一連續依賴於y0的解。這個方法稱為柯西-李普希茨方法。若取消李普希茨條件,則用阿爾澤拉定理仍能證明解的存在性,但不能證明惟一性和連續依賴性。可見李普希茨條件的作用只在於保證解的惟一性。逐次逼近法導源於代數方程近似解法,劉維爾首先把它用於解沃爾泰拉積分方程,(C.-)É.皮卡才把它廣泛應用於解常微分方程柯西問題(C)上,首先把柯西問題變為非線性沃爾泰拉積分方程,然後用逐次逼近法求解,結果完全和歐拉折線法的一樣。

6 微分方程 -參考文獻


 J.Hadamard,Le Probléme de cauchy et les Equations αux Dérivées partielles Lineairs Hyperboliques,Hermann,Paris,1932.
 J.Hadamard,la Theorie des Equatiens αux Dérivées partielles, Editions des Sciences,Beijing,1964.

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