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微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。微積分是建立在實數、函數和極限的基礎上的。 它是其餘科目的基礎,是重中之中。它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中,有越來越廣泛的應用。

1 微積分 -簡介

微積分是現代數學的重要基礎與起點,它不僅在物理、力學、化學、生物等自然科學領域中已有非常廣泛的應用,近幾十年來它已應用社會、經濟、人文等領域,成為這些領域的一個重要的研究工具。微積分學起源於資本主義工業革命,工業的發展要求精確刻畫各種運動—機械運動、天體運動、流體與氣體運動等等的規律性,為此作為研究變數的數學-微積分學誕生了,十七世紀牛頓、萊不尼茲建立了微積分學,又經過一個半多世紀才形成現在應用的微積分學的體系。經濟學與現代數學關係密切,據統計自1969年起建立的諾貝爾經濟學獎的得主有半數以上得益於有效的應用現代數學,因此作為現代數學基礎的微積分學也是經濟學專業一門重要基礎課。作為研究變數數學的微積分學不同於以研究常量為主的初等數學,在學習方法上要注意它的特點。

2 微積分 -發展史

極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀後半葉,牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過準備的工作,分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量,理論基礎是不牢固的。直到十九世紀,柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾、戴徳金等建立了嚴格的實數理論,這門學科才得以嚴密化。

微積分是與實際應用聯繫著發展起來的,它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中,有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷發展。

從微積分成為一門學科來說,是在十七世紀,但是,微分和積分的思想在古代就已經產生了。

公元前三世紀,古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中,採用了窮竭法,就隱含著近代積分學的思想。而就作為微分學基礎的極限理論來說,早在古代就有比較清楚的論述。比如中國的莊周所著的《莊子》一書的「天下篇」中,記有「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」。(註:在這並非莊子的觀點,而是莊子的論敵公孫龍等的觀點。)三國時期的劉徽在他的割圓術中提到「割之彌細,所失彌小,割之又割,以至於不可割,則與圓周和體而無所失矣。」這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。另外,微積分的現代基礎——實數理論,最早也是奠基於古希臘。古希臘的畢達哥拉斯學派提出了「萬物皆數」的思想,他所指的數實際上是整數和整數之比(分數),但他的弟子卻發現了邊長為1的正方形的對角線長不能表示為分數,這就導致了一次深刻的數學危機。這一問題實際上涉及實數的完備性。為了解決這一問題,古希臘最偉大的數學家之一歐多克索斯提出了天才的比例論,使窮間竭法處於非常嚴密的數學邏輯的控制下。但遺憾的是,這種做法使得幾何上的量和算術代數體系中的數分開,這種分法嚴重阻礙了作為分析學的解析體系的發展,直至戴徳金才將這一問題解決。針對這一段歷史,偉大的英國數學家G.H.哈代說過,歐多克索斯的比例論的精神「令人吃驚地是現代的,並對晚近的哲學有重大的影響。」實際上,歐氏比例論中所傳遞的思想要遠遠超出實數論和微積分的領域。

到了十七世紀,有許多科學問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運動的時候直接出現的,也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。

十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國的巴羅、瓦里士;德國的開普勒;義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。十七世紀下半葉,在前人工作的基礎上,英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作,雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起,一個是切線問題(微分學的中心問題),一個是求積問題(積分學的中心問題)。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量,因此這門學科早期也稱為無窮小分析,這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮,萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變數是由點、線、面的連續運動產生的,否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量,把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是:已知連續運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。

德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者,1684年,他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻,這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用於分式和無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章,卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年,萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一,他所創設的微積分符號,遠遠優於牛頓的符號,這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創立,極大地推動了數學的發展,過去很多初等數學束手無策的問題,運用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學的非凡威力。

不幸的事,由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘,在提出誰是這門學科的創立者的時候,竟然引起了一場悍然大波,造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國,囿於民族偏見,過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前,因而數學發展整整落後了一百年。其實,牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究,在大體上相近的時間裡先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右,但是整是公開發表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處,也都各有短處。那時候,由於民族偏見多年。

應該指出,這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣,牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上,其說不一,十分含糊。牛頓的無窮小量,有時候是零,有時候不是零,而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷,最終導致了第二次數學危機的產生。

直到19世紀初,法國科學學院的科學家以柯西為首,對微積分的理論進行了認真研究,建立了極限理論,後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。

任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星:瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……

歐氏幾何也好,上古和中世紀的代數學也好,都是一種常量數學,微積分才是真正的變數數學,是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支,不只是局限在解決力學中的變速問題,它馳騁在近代和現代科學技術園地里,建立了數不清的豐功偉績。

3 微積分 -基本內容

研究函數,從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。

本來從廣義上說,數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科,但是現在一般已習慣於把數學分析和微積分等同起來,數學分析成了微積分的同義詞,一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。

微分學的主要內容包括:極限理論、導數、微分等。

積分學的主要內容包括:定積分、不定積分等。

微積分是與應用聯繫著發展起來的,最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此後,微積分學極大的推動了數學的發展,同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。並在這些學科中有越來越廣泛的應用,特別是計算機的出現更有助於這些應用的不斷發展。

4 微積分 -函數

在我們的周圍,變化無處不在。我們所看到的事物都在變化。其中,有一些變化著的現象中存在著兩個變化的量,簡稱變數。這兩個變化著的量不是彼此孤立的,而是相互聯繫、相互制約的。當其中一個量在某數集內取值時,按一定的規則,另一個量有惟一確定的值與之對應。變數之間的這種數量關係就是函數關係。

設x和y是兩個變數,D是一個給定的非空數集。若對於每一個數x∈D,按照某一確定的對應法則f,變數y總有惟一確定的數值與之對應,則稱y是x的函數,記作y=f(x),x∈D,其中x稱為自變數,y稱為因變數,數集D稱為該函數的定義域。

5 微積分 -極限與連續

按正整數順序1,2,3,…排列的無窮多個數,稱為數列.數列通常記作
 

微積分微積分
或簡記作{
微積分微積分
}。數列的每個數稱為數列的項,依次稱為第一項,第二項,…。第n項 稱為通項或一般項。
若以函數表示數列: 全體正整數的集合記作N+,則數列可表示為
 
微積分微積分
=f(n),n∈N+。

設函數f(x)在|x|>a (a>0)時有定義,若當x→∞時,函數f(x)趨於常數A,則稱函數f(x)當x趨於無窮大時以A為極限,記作

微積分微積分

微積分微積分
的左極限與右極限,就是僅討論當x→
微積分微積分
時,或x→
微積分微積分
時,函數f(x)的極限。

設函數

微積分微積分
在點x0的某個鄰域內有定義,如果有
微積分微積分
稱函數
微積分微積分
在點x0處連續,稱x0為函數的
微積分微積分
的連續點。

6 微積分 -導數與微分

導數是微積分中的重要概念。導數定義為,當自變數的增量趨於零時,因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函數存在導數時,稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。

一個變數隨某個變數變化時的速度或變化率;例如路程對於時間的導數便是速度。
  若變數y 隨變數x 變化的函數關係記為y=ƒ(x),則它在一點x處的導數記為y┡=ƒ┡(x),按定義,它是變化量之比的極限:

微積分微積分
當這個極限存在時,就說函數ƒ(x)在這點x處可導或者可微。
  導數y┡=ƒ┡(x),在函數ƒ(x)可導的範圍內是x的一個函數,稱為函數ƒ(x)的導函數,亦稱導數。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的,在微小局部可以用直線去近似替代曲線,它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義:它表示一個微小的量,同時又表示一種與求導密切相關的運算。微分是微分學轉向積分學的一個關鍵概念。

微分的思想就是一個線性近似的觀念,利用幾何的語言就是在函數曲線的局部,用直線代替曲線,而線性函數總是比較容易進行數值計算的,因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值,這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

7 微積分 -中值定理

函數與其導數是兩個不同的的函數;而導數只是反映函數在一點的局部特徵;如果要了解函數在其定義域上的整體性態,就需要在導數及函數間建立起聯繫,微分中值定理就是這種作用。微分中值定理,包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函數值之間的橋樑,是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理,建立了函數值與導數值之間的定量聯繫,因而可用中值定理通過導數去研究函數的性態;中值定理的主要作用在於理論分析和證明;同時由柯西中值定理還可導出一個求極限的洛必達法則。中值定理的應用主要是以中值定理為基礎,應用導數判斷函數上升,下降,取極值,凹形,凸形和拐點等項的重要性態。從而能把握住函數圖象的各種幾何特徵。在極值問題上也有重要的實際應用。

8 微積分 -不定積分

設F(x)是函數f(x)的一個原函數,我們把函數f(x)的所有原函數F(x) C(C為任意常數)叫做函數f(x)的不定積分,記作,即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函數,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數,求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。

由定義可知:
求函數f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函數,由原函數的性質可知,只要求出函數f(x)的一個原函數,再加上任意的常數C,就得到函數f(x)的不定積分。

9 微積分 -定積分

設函數f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個分點
                      a=x0<x1<...<xn-1<xn=b
   把區間[a,b]分成n個小區間
                      [x0,x1],...[xn-1,xn]。
   在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數值f(ξi)與小區間長度的乘積f(ξi)△xi,並作出和

微積分微積分
如果不論對[a,b]怎樣分法,也不論在小區間上的點ξi怎樣取法,只要當區間的長度趨於零時,和S總趨於確定的極限I,
  這時我們稱這個極限I為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分,
                      記作
微積分微積分
。即:
微積分微積分

10 微積分 -無窮級數與多元函數

無窮級數是對一個有次序的無窮個數求和的方法,無窮級數有發散性和收斂性的區別。只有無窮級數收斂時有一個和;發散的無窮級數沒有和。算術的加法可以對有限個數求和,但無法對無限個數求和,有些數列可以用無窮級數方法求和。 包括數項級數、冪級數、Fourier級數。

設D為非空的n元有序數組的集合,如果對於每一個有序數組 

微積分微積分
 ,按照某一法則
微積分微積分
,都有確定的實數y與之對應,則稱此法則
微積分微積分
為定義在D上的n元函數。記為
微積分微積分

其中

微積分微積分
稱為自變數,y稱為因變數,D稱為函數的定義域,集合
微積分微積分
稱為函數
微積分微積分
的值域。

11 微積分 -微分方程與差分方程

含有未知函數yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函數方程,稱為常差分方程(簡稱差分方程);出現在差分方程中的差分的最高階數,稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為
F(t,yt,Dyt,…, Dnyt)=0, 
其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函數,且Dnyt一定要在方程中出現。

含有兩個或兩個以上函數值yt,yt+1,…的函數方程,稱為(常)差分方程,出現在差分方程中未知函數下標的最大差,稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為
F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0,          
其中F為t,yt,yt+1,…,yt+n的已知函數,且yt和yt+n一定要在差分方程中出現。

常微分方程與偏微分方程的總稱。含自變數、未知函數和它的微商(或偏微商)的方程稱為常(或偏)微分方程。未知函數為一元函數的微分方程,稱為常微分方程。未知函數為多元函,從而出現多元函數的偏導數的方程,稱為偏微分方程。

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