標籤:德拜德拜模型原子振動模型

德拜模型德拜〖ht〗提出的計算固體熱容的原子振動模型。1912年,德拜改進了〖htk〗愛因斯坦模型〖ht〗,考慮熱容應是原子的各種頻率振動貢獻的總和,得到了同實驗結果符合得很好的固體熱容公式。德拜模型把原子排列成晶體點陣的固體看作是一個連續彈性媒質,原子間的作用力遵從〖htk〗胡克定律〖ht〗,組成固體的 n個原子在三維空間中集體振動的效果相當於3n個不同頻率的獨立線性振子的集合。

1簡介

每一個獨立諧振子的振動是一種簡正振動模式,彈性媒質的一種簡正振動模式是具有一定頻率、波長和傳播方向的彈性波。彈性固體能夠以不同的速度傳播縱、橫兩種波。對於每一個振動頻率,縱波只有在傳播方向的一種振動,橫波有兩種垂直於傳播方向的振動(兩個偏振),共三個振動模式。為把固體看作是連續的彈性媒質,德拜模型只考慮那些頻率非常低(近似取為零)直到極限頻率vm範圍內的振動模式。由於n的數目很大,3n種振動頻率可看作是連續分佈在零到vm區間內,則3n個不同頻率的獨立諧振子的總能量就由分立的求和變為積分,uo是同溫度無關的常數, ρ(v)稱頻率分佈函數。用熱力學關係,由點陣振動導致的固體的定容熱容是。ρ(v)的形式是其中v是固體的體積,с1、сt分別是固體中縱波和橫波的傳播速度。由條件可得到德拜最大頻率是,而ρ(v)就可寫成。令x=hv/kt, 便導出了固體的摩爾熱容,其中?d=hvm/k稱德拜溫度。上式在t?d時導出=3r(r是摩爾氣體常數),就是經典結果;當t?d時,可得,隨著t→0,按t3趨於零。對中間溫度區域,則需用數值計算求積分值。對於一些簡單結構的固體,其熱容的理論曲線同實驗結果的比較見圖。圖中同時畫出了杜隆-珀替定律的曲線。可見,德拜模型導出的熱容公式同實驗符合得很好。

2彈性波處理

根據量子論,德拜所考慮的彈性波的簡正振動能量也是量子化的,是最小能量hv的倍數。彈性波的這一最小能量稱為聲子,它是固體原子系統的集體激發模式,可看作是在點陣中傳播的具有一定能量和運動方向的准粒子。把彈性聲波場當作聲子系統處理后,再把〖htk〗普朗克公式〖ht〗運用到固體點陣振動上,頻率為v的振子振動的平均能量就是,那麼3n個不同頻率的獨立諧振子的總能量是各振子平均能量的和。

3限用情況

德拜模型不能用於以下幾種情況:①較複雜的分子,特別是高度各嚮導性晶體,前述的頻率分佈函數不適用時;②波長同點陣間距離可比擬,破壞了連續媒質的設想時;③極低溫度下,電子參與對熱容貢獻並起主要作用時(見〖htk〗電子比熱容〖ht〗)。

4德拜的推導

實際上,德拜用不同和更加簡單的方法推出了這個方程。利用連續介質的固體力學,他發現頻率小於某個特定值的振動狀態的數目趨近於:
n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,,
其中V是體積,F是一個因子,他從彈性係數和密度計算。把這與溫度T的量子諧振子的期望能量(已經由愛因斯坦在他的模型中使用)結合,便給出能量:
U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,
如果振動頻率趨於無窮大。這個形式給出了T4的表現,它在低溫時是正確的。但德拜意識到N個原子不可能有超過3N個振動狀態。他假設在原子固體中,振動狀態的頻譜將繼續遵循以上的規則,到一個最大的頻率νm為止,使得總的狀態數目為3N:
3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.
德拜知道這個假設不是真正正確的(較高的頻率比假設要更加密集),但它保證了高溫時的正確表現(杜隆-珀蒂定律)。於是,能量由以下給出:
U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,
= V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,
其中TD是hνm / k。
= 9 N k T (T/T_D)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,
= 3 N k T D_3(T_D/T)\,,
其中D3是一個函數,後來命名為三階德拜函數。
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