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愛因斯坦場方程

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愛因斯坦場方程,或稱為愛因斯坦重力場方程或稱之為愛因斯坦方程。愛因斯坦場方程是一個把時空作為自變數、將度規作為因變數的帶有橢圓型約束的二階雙曲型偏微分方程。

1 愛因斯坦場方程 -方程式

如圖示一。

愛因斯坦場方程圖示一

其中如圖示二。

愛因斯坦場方程圖示二

2 愛因斯坦場方程 -解釋

愛因斯坦場方程刻上真空場方程式的紀念硬幣

從等效原理(1907年)開始,到後來(1912年前後)發展出「宇宙中一切物質的運動都可以用曲率來描述,重力場實際上是彎曲時空的表現」的思想,愛因斯坦歷經漫長的試誤過程,於1916年11月25日寫下了重力場方程而完成廣義相對論。這條方程稱作愛因斯坦重力場方程,或簡為愛因斯坦場方程或愛因斯坦方程。

3 愛因斯坦場方程 -性質

能量與動量守恆

場方程的一個重要結果是遵守局域的(local)能量與動量守恆,透過應力-能量張量(代表能量密度、動量密度以及應力)可寫出如圖示三。

愛因斯坦場方程圖示三

場方程左邊(彎曲幾何部份)因為和場方程右邊(物質狀態部份)僅成比例關係,物質狀態部份所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部份也有相似的數學結果。透過微分比安基恆等式,以描述時空曲率的里奇張量如圖示四

愛因斯坦場方程圖示四

(以及張量縮並后的里奇標量圖示五)

愛因斯坦場方程圖示五

之代數關係所設計出來的愛因斯坦張量如圖示六

愛因斯坦場方程圖示六

可以滿足這項要求如圖示七。

愛因斯坦場方程圖示七
場方程為非線性

愛因斯坦場方程的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來說,電磁學的麥克斯韋方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係(亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解)。另個例子是量子力學中的薛定諤方程,對於概率波函數也是線性的。

對應原理

透過弱場近似以及慢速近似,可以從愛因斯坦場方程退化為牛頓重力定律。事實上,場方程中的比例常數是經過這兩個近似,以跟牛頓重力理論做連結后所得出。

4 愛因斯坦場方程 -概述

說明

R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv (Rμν-(1/2)gμνR=8GπTμν/(c*c*c*c) -gμν)

愛因斯坦場方程是一個二階張量方程,R_uv為里契張量表示了空間的彎曲狀況。T_uv為能量-動量張量,表示了物質分佈和運動狀況。g_uv為度規,κ為係數,可由低速的牛頓理論來確定。"_"后字母為下標,"^"后字母為上標。

意義

空間物質的能量-動量(T_uv)分佈=空間的彎曲狀況(R_uv)

解的形式

ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2

式中A,B,C,D為度規g_uv分量。

考慮能量-動量張量T_uv的解比較複雜。最簡單的就是讓T_uv等於0,對於真空靜止球對稱外部的情況,則有施瓦西外解。如果是該球體內部的情況,或者是考慮球體軸對稱的旋轉,就稍微複雜一點。還有更複雜的星雲內部或外部的情況,星雲內部的星球還要運動、轉動等。這些因素都要影響到星雲內部的曲面空間。

5 愛因斯坦場方程 -含宇宙常數項的場方程

R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv

此處的Λ是宇宙常數,其物理意義是宇宙真空場。Λ*g_uv為宇宙項。

如果從數學上理解的話,則上面的場方程也可解出下面的形式:

ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2:

式中A,B,C,D為度規g_uv分量。

這裡的ds就是表達空間彎曲程度的一小段距離。同時因為4維空間與時間有關,ds隨時間也會變化。這時,如果沒有宇宙項,ds隨時間是增大的,宇宙就是膨脹的。如果加了宇宙項,選取適當的Λ值,ds不隨時間變化,宇宙就是穩定的。

如果從物理意義上理解的話,把宇宙項移到式右邊,則是:

R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uv

Λ項為負值,起到了斥力的作用,即宇宙真空場與普通物質場之間存在著斥力。宇宙項和通常物質場的引力作用起到了平衡的作用,所以可得到穩定的宇宙解。

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