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應力函數和位移函數

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 在彈性力學中,為方便求解,常把應力或位移用幾個任意的或某種特殊類型的函數表示,這些函數通常叫作應力函數或位移函數。

1 應力函數和位移函數 -應力函數和位移函數

2 應力函數和位移函數 -正文

  應力函數  最有名的應力函數是彈性力學平面問題中的艾里應力函數。如果沒有體力,平面中的三個應力分量σxxσyyτxy滿足下列方程:

。   (1)

根據方程(1),可將應力分量用一個函數φx,y)表示為:

。   (2)

φ便是艾里應力函數。對於均勻和各向同性的物體,φ是一個雙調和函數,即它滿足下列雙調和方程:

ΔΔφ=0,           (3)

式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面問題原來的8個未知函數(兩個位移分量、三個應變分量和三個應力分量σxxσyyτxy就歸結為一個函數φ。這對求解具體問題很有好處。
  在彈性柱體的扭轉問題中,剪應力分量τxzτyz滿足下列平衡方程:

。        (4)

據此可將τxzτyz用一個函數Ψ(x,y)表示為:

。       (5)

Ψ稱為普朗特應力函數。對於均勻和各向同性的柱體,Ψ滿足下列方程:

ΔΨ=-2,         (6)

式中G為材料的剪切模量(見材料的力學性能);θ為單位長度的扭轉角。
  位移函數  在求解彈性力學的空間問題時,也可以用六個應力函數代替原來的六個應力分量,但好處不多。所以,一般多採用各種位移函數。對於均勻和各向同性彈性體,位移分量u1u2u3滿足下列平衡方程:

應力函數和位移函數

式中是空間中的拉普拉斯算符;ν為材料的泊松比;G為剪切模量;┃i為體力分量。方程(7)的解可以表達成多種形式。一種形式為: 

應力函數和位移函數

式中ψ1ψ2ψ3四個函數滿足下列方程:

。 (9)

函數ψ1ψ2ψ3稱為布森涅斯克-帕普科維奇-紐勃位移函數。 彈性力學中許多空間問題的解都是從公式(8)推導出來的。
  方程(7)還有另一種形式的解,即

應力函數和位移函數

式中Fi滿足下列方程:

。      (11)

函數F1F2F3稱為布森涅斯克-索米利亞納-伽遼金位移函數。對於迴轉體的軸對稱問題,公式(10)可作許多簡化。取對稱軸為z軸(x3軸),記r為所考慮點到z軸的距離,並記位移在rz軸上的投影分別為uω。若┃1=┃2=0,可取F1=F2=0,F3=F(rz)。這樣,由公式(10)可得到:

,    (12)

式中,即柱坐標中的拉普拉斯算符;F滿足下列方程:        

。        (13)

   公式(12)中的函數F稱為樂甫位移函數。 在求解軸對稱問題時,經常利用公式(12)。
  在┃1=┃2=0的情況下,即使不是軸對稱問題,方程(7)的解也可用一組位移函數F、┃表示如下:

應力函數和位移函數

式中F、┃滿足下列方程:

, Δ┃=0。   (15)

這組位移函數特別適用於求解無限體、半無限體和厚板等問題。

3 應力函數和位移函數 -配圖

4 應力函數和位移函數 -相關連接

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