標籤:數學

1簡介

戴德金

  戴德金

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的「分割」來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,才結束了無理數被認為「無理」的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

2定義

戴德金的方法也稱為戴德金分割,是將一切有理數的集合劃分為兩個非空不相交的子集A和B,使得A中的每一個元素小於B中的每一個元素,這時戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割(有些分割是有理數產生的,在這樣的分割中,要麼有最大元素,要麼有最小元素.但有些分割卻不是)

3案例

例如,若是由滿足的一切正有理數組成,是由一切其餘的有理數組成,則既不存在的最大元素,也不存在的最小元素,因為不存在有理數使得.戴德金說;每當我們考慮一個不是由有理數產生的分割時,就得到一個新數即無理數,我們認為這個數是由分割完全確定的.
因此,戴德金就把一切實數組成的集合定義為有理數集的一切分割,而一個實數就是一個分割.
  在這一定義中,由一個給定的有理數產生的兩個實質上等價的分割(視是的最大元素還是的最小元素而定)被看成是同一的.
假設給定某種方法
所有的有理數分為兩個集合,A和B, A中的每一個元素都小於B中的每一個元素,任何一種分類方法稱為有理數的一個分割
對於任一分割, 必有3種可能, 其中有且只有1種成立:
A有一個最大元素a,B沒有最小元素。例如A是所有≤1的有理數,B是所有>1的有理數。 B有一個最小元素b,A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數。B是所有≥1的有理數。 A沒有最大元素,B也沒有最小元素。例如A是所有負的有理數,零和平方小於2的正有理數,B是所有平方大於2的正有理數。顯然A和B的並集是所有的有理數,因為平方等於2的數不是有理數。注::A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因為這樣就有一個有理數不存在於A和B兩個集合中,與A和B的並集是所有的有理數矛盾。
第3種情況,戴德金稱這個分割為定義了一個無理數,或者簡單的說這個分割是一個無理數。
前面2種情況中,分割是有理數。
這樣,所有可能的分割構成了數軸上的每一個點,既有有理數,又有無理數,統稱實數。

4成就及影響

戴德金分割
戴德金的主要成就是在代數理論方面。他研究過任意域、環、群、結構及模等問題,並在授課時率先引入了環(域)的概念,並給理想子環下了一般定義,提出了能和自己的真子集建立一對應的集合是無窮集的思想。在研究理想子環理論過程中,他將序集(置換群)的概念用抽象群的概念來取代,並且用一種比較普通的公式(戴德金分割概念)表示出來,比康托爾的公式要簡化得多,並直接影響了後來皮亞諾的自然數公理的誕生。是最早對實數理論提出了許多論據的數學家之一。
戴德金在數學上有很多新發現。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要貢獻有以下兩個方面:在實數和連續性理論方面,他提出「戴德金分割」,給出了無理數及連續性的純算術的定義。
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