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我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數。由於這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解,同時抽象函數問題又將函數的定義域,值域,單調性,奇偶性,周期性和圖象集於一身,所以在高考中不斷出現;如2002年上海高考卷12題,2004年江蘇高考卷22題,2004年浙江高考卷12題等。學生在解決這類問題時,往往會感到無從下手,正確率低,本文就這類問題的解法談一點粗淺的看法。

1抽象函數

抽象函數形式
冪函數:f(xy)=f(x)f(y)
正比例函數:f(x+y)=f(x)+f(y)
對數函數:f(x)+f(y)=f(xy)
三角函數:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx
指數函數:f(x+y)=f(x)f(y)
周期為n的周期函數:f(x)=f(x+n)
表達形式
f(m+x)=f(n-x) 對稱軸為(m+n)/2
f(m+x)+f(n-x)=1 關於((m+n)/2,1/2)對稱
f(x+m)=f(x) 周期為m

2微分方程

求解抽象函數
一般方法

  一般方法

3解法舉例

賦值法
根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值,從而解決問題。
例2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法
解:令y = -x,則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x,y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0,代入①式得f (-x)= -f(x)。
得 f (x)是一個奇函數,圖像關於原點對稱。
∵當x <0時,f (x) >0,
即f (x)在R上是一個減函數,可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
熟悉函數的基本知識
解答抽象函數題目的基礎是熟悉函數的基本知識。如果連基本的函數知識都沒有掌握,解決抽象函數問題只能是空談。具體說,學好函數要掌握常見函數的性質。例如,中學涉及的函數性質一般有單調性、奇偶性、有界性及周期性;常見的函數有指數函數、對數函數、三角函數、二次函數、對勾函數(Y=X+A/X(A>0))等等。

靈活選擇解題方法

從上文對幾種解法的介紹不難看出,選擇合適的方法對解決抽象函數問題往往會起到事半功倍的效果。對於選擇題,選用特殊值法、賦值法、圖像法等等可以在很短的時間內得到答案,在應試時節省出不少時間。而對各種方法的理解,在解題中選擇出合適的方法,則需要在平時的學習中多體會多感悟。
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