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拉格朗日定理

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拉格朗日定理存在於多個學科領域中,分別為:流體力學中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。

1流體力學

流體力學中的拉格朗日定理
(Lagrange theorem)
由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理(Lagrange theorem), 即漩渦不生不滅定理:
正壓理想流體在質量力有勢的情況下,如果初始時刻某部分流體內無渦,則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之,若初始時刻該部分流體有渦,則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為有渦。
描述流體運動的兩種方法之一:拉格朗日法
拉格朗日法是以研究單個流體質點運動過程作為基礎,綜合所有質點的運動,構成整個流體的運動。
以某一起始時刻每個質點的坐標位置(a、b、c),作為該質點的標誌。
任何時刻任意質點在空間的位置(x、y、z)都可以看成是(a、b、c)和t的函數
拉格朗日法基本特點: 追蹤流體質點的運動
優點: 可直接運用固體力學中質點動力學進行分析

2微積分

微積分中的拉格朗日定理即(拉格朗日中值定理)
設函數f(x)滿足條件:
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)可導;
則至少存在一點ε∈(a,b),使得
f(b) - f(a)=f'(ε)(b-a)
或者
f(b)=f(a) + f(ε)'(b - a)
[證明:把定理裡面的c換成x在不定積分得原函數f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做輔助函數G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易證明此函數在該區間滿足條件:1,G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]連續;3.G(x)在(a,b)可導.此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證]

3數論

數論中的拉格朗日定理
1拉格朗日四平方和定理(費馬多邊形數定理特例)
每個自然數均可表示成4個平方數之和。3個平方數之和不能表示形式如4^k(8n+ 7)的數。 如果在一個正整數的因數分解式中,沒有一個數有形式如4k+3的質數次方,該正整數可以表示成兩個平方數之和。
2設p是一個素數,f(x)是整係數多項式,模p的次數為n,則同餘方程f(x)≡0(modp)至多有n個互不相同(即模p互不同餘)的解。

4群論

群論中的拉格朗日定理
設 G 是有限群, H 是 G 的子群, [G:H]是 H 在 G 中的指數--即陪集個數。
那麼我們有 [G:H] |H|=|G|即H的階整除G的階。
這裡|G|是群的階數, 即元素個數。
證明:設G和H的元數分別為n和r,設H有s個右陪集,但G等於所有右陪集的並集,不同的右陪集沒有公共元素,而且,每個右陪集的元數等於H的元數r,一共是s個右陪集,故所有右陪集的並集有元數rs,它等於G的元數n: n=rs,或者說,r整除n,商為s。
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