1定義

拐點在數學上指改變曲線向上或向下方向的點,直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點(即曲線的凹凸分界點)。若該曲線圖形的函數在拐點有二階導數,則二階導數必為零或不存在。
在生活中借指事物的發展趨勢開始改變的地方(例如:經濟運行出現回升拐點)

2概述

拐點

  拐點

凹的充分條件:
若曲線y=f(x)(a≤x≤b)的一段,位於其任意一點的切線之上(或之下),則稱這個可微分的函數y=f(x)的圖形於閉區間[a,b]上是凹(或對應地,凸)的。在假設二階導函數f"(x)存在的情況下,當a<x<b時不等式f"(x)>0[或對應地f"(x)<0]成立,為圖形是凹(或對應地,凸)的充分條件。
拐點的必要條件:設f(x)在(a,b)內二階可導,x0∈(a,b),若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的一個拐點,則f『』(x0)=0。
拐點的充分條件:設f(x)在(a,b)內二階可導,x0∈(a,b),則f『』(x0)=0,若在x0兩側附近f『』(x0)異號,則點(x0,f(x0))為曲線的拐點。否則(即f『』(x0)保持同號,(x0,f(x0))不是拐點。
當函數圖像上的某點使函數的二階導數為零,且三階導數不為零時,這點即為函數的拐點。
若函數y=f(x)在c點可導,且在點c一側是凸,另一側是凹,則稱c是函數y=f(x)的拐點。另外,如果c是拐點,必然有f''(c)=0或者f''(c)不存在;反之則不成立;比如,f(x)=x^4,有f''(0)=0,但是0兩側全是凸,所以0不是函數f(x)=x^4的拐點。
拐點的求法(摘錄自高等數學同濟5版上冊第149頁)
可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點:
⑴求f''(x);
⑵令f''(x)=0,解出此方程在區間I內的實根,並求出在區間I內f''(x)不存在的點;
⑶對於⑵中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0,檢查f''(x)在x0左右兩側鄰近的符號,那麼當兩側的符號相反時,點(x0,f(x0))是拐點,當兩側的符號相同時,點(x0,f(x0))不是拐點。
例如,y=x^3,y'=3x^2,y''=6x,解出x=0時,y'=0,y''=0:y在(負無窮大,0)上為增函數,y''<0,函數曲線為凸函數;y在(0,正無窮大)上為增函數,函數y''>0,函數曲線為凹函數。但y全區間函數為增函數,拐點在這裡說明的只是函數曲線凹凸分界點。

生活

在生活中,拐點多用來說明某種情形持續上升一段時間后開始下降或回落。在數學上這句話是錯的,這種點叫極值點、穩定點或者叫駐點;所以,有了經濟的拐點,房地產的拐點,以及股市的拐點。

3其他解釋

中國人民大學喻國明教授關於「拐點」的解釋
所謂「拐點」,原是高等數學中的一個概念,應用到傳媒領域,是指中國媒介改革還存在很大的增量空間。但是,如果按照現行的發展模式、發展框架發展下去而不做變革,這種增量空間就很難得到挖掘。
喻國明認為,挖掘增量空間的方式有兩種。一是宏觀體制的改革,從體制層面放寬傳媒改革的領域。二是媒介傳播者自身,要對媒介的「生產方式」、「生產流程」、運營價值鏈的建構、市場機會點的把握方面有一個全新的整合與操作。

4圖書信息

(一)
書 名:
圖書封面

  圖書封面

拐點
作 者:汪翔 
出版社:長江文藝出版社
出版時間:2010-4-1
ISBN: 9787535442970
開本:16開
定價:28.00元
(二)
書 名:拐點
作 者:老槍 
出版社:中國友誼出版公司  
出版時間:2006-8
ISBN: 7-5057-2235-2
開本:16開
定價:28.00元
拐點內容簡介
它們都曾經是世界上最頂級的金融公司,而且還是百年老店;它們都有深沉的企業文化,有被長期的經營成功所證明的系統化管理理念和管理體系。它們都是經歷過無數次風雨洗禮的精英企業……然而當危機來臨時,這四家世界金融巨頭幾乎是在一瞬間,從4300億美元到80億美元,市值縮水達4220餘億美元……
這次金融危機最大的特點是:大批實力雄厚的金融巨頭在頃刻之間倒下甚至破產。
老槍《拐點》

  老槍《拐點》

每一次危機就是一次機會,百年一遇的危機,就是人生的最大機會。
解讀這些企業成功的密碼,解密它們突然敗亡的蛛絲馬跡,讓普通投資者在風暴來臨時能成功規避這些超級颶風的席捲、頂級陷阱的捕捉,讓中國的企業在發展中能多一些理性、多一些智慧、多一些應對真正的世界危機的經驗,這就是本書出版的初衷。因為,對於這些百年老店的深入了解和學習,是我們打造中國百年老店的必需功課。
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