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拓撲群,又名連續群,是具有拓撲空間結構的群。

1 拓撲群 -拓撲群

 

2 拓撲群 -正文

  又名連續群,是具有拓撲空間結構的群。設G是拓撲空間,又是一個群,而且群的乘積運算與求逆按此拓撲是連續的,即從拓撲空間G×G到拓撲空間G上的映射m∶(x,y)→x·y及從GG上的映射ƒ:xx-1都是連續映射,則稱G為拓撲群。如果G作為拓撲空間是局部緊(或緊、連通、單連通)的,則稱G為局部緊(或緊、連通、單連通)拓撲群。例如,n維歐氏空間中所有向量所成的加群,再加上通常的拓撲,就是一個交換拓撲群;實數域R上所有n階非奇異方陣所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓撲,是一個局部緊拓撲群;而所有行列式為1的正交矩陣所成的群SO(n,R)是一個緊連通拓撲群。
  從拓撲群G到拓撲群H內的映射ƒ:GH,如果作為群結構它是群同態,作為拓撲空間的映射它是連續的,那麼ƒ稱為從拓撲群G到拓撲群H的同態,簡稱同態。如果同態ƒ是雙射, 而且逆映射ƒ-1也是連續的,那麼ƒ稱為拓撲群G到拓撲群H上的同構映射,簡稱同構。拓撲群全體帶上拓撲群間的同態,構成一個範疇。這個範疇就是拓撲群論研究的對象。
  在數學中,拓撲群概念最初是由連續變換群的研究所引起,人們發現在處理許多連續變換群的問題中所出現的群,往往不必考慮作變換群,而只需研究這些群本身,於是產生了連續群的概念。M.S.李是最初對連續群進行系統研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。
  拓撲群的結構是比較均勻的,一點鄰近的性質可以反映其他點鄰近的性質。設G為群,拓撲群拓撲群G的某些子集構成的集合。如果拓撲群拓撲群適合下列五個條件:①拓撲群,其中eG的單位元素;②對UV拓撲群拓撲群,存在W拓撲群拓撲群使WUV;③對每個U拓撲群拓撲群,存在V拓撲群拓撲群使VV-1U;④對每個U拓撲群拓撲群αU,存在V拓撲群拓撲群使VαU;⑤對每個U拓撲群拓撲群αG,存在V拓撲群拓撲群使α-1VαU,那麼在G中可以引進惟一的拓撲,以{UαU拓撲群拓撲群,αG},為拓撲空間的完全鄰域組,使G成為拓撲群,亦即拓撲群G的拓撲結構完全決定於單位的完全鄰域組拓撲群拓撲群,只要拓撲群中有一點是閉集,那麼每一點都是閉集,從而是豪斯多夫空間,並且這樣的拓撲群的拓撲空間是正則的。連通拓撲群作為抽象群都可以由它的單位的一個鄰域來生成。
  如果拓撲群G的子集H是群G的子群,那麼H加上由G的拓撲繼承下來的拓撲也構成拓撲群,就稱H為拓撲群G的拓撲子群;如果H又是G的閉(開)子集,那麼H稱為G的閉(開)子群。開子群一定是閉子群。拓撲群G的子群H的閉包也是拓撲子群。拓撲群G的中心與換位子群都是G的閉正規子群。給出拓撲群G的子群H,就可以有左陪集的集合G/H={αHαG},有從GG/H上的自然映射π∶GG/H,π(α)=αH,對αG,G/H上使π連續的最強拓撲,使G/H成拓撲空間,稱為G關於子群H的左陪集空間。同樣有右陪集空間H\G。於是,G/H是豪斯多夫空間當且僅當H是閉子群。G/H是離散的,當且僅當H是開子群。如果H是拓撲群G的正規子群,那麼商群G/H再加上上述陪集空間拓撲,使G/H成拓撲群,稱為拓撲群G按正規子群H所做得的商群。這時,從拓撲群G到拓撲群G/H的自然映射 π是拓撲群間的開同態(作為拓撲空間的映射把開集映到開集)。還有類似於群同態基本定理的同態定理:如果ƒ是從拓撲群G到拓撲群G1上的開同態映射,Nƒ的核,那麼NG的閉正規子群,而且由ƒ導出G/NG1上的映射是拓撲群間的同構映射。
  在研究拓撲群的結構及討論拓撲群上函數的性質時,一個非常重要的有力工具是,在局部緊拓撲群G上可以建立起不變測度與不變積分,即G有一個適當廣的可測子集類(博雷爾子集類),在這個類集上可以有一個測度μ,使得對G中的任一元素α,可測集M的測度μ(M)與集合Mα的測度μ(Mα)相等。這種測度稱為局部緊群G上的哈爾測度。它是A.哈爾於1933年首先建立起來的理論。 可以證明, 除了一個常數因子外,局部緊群上的哈爾測度是惟一確定的。緊子集上的哈爾測度是有限的,因此, 在緊群G上哈爾測度總可以標準化為μ(G)=1。有了測度就可以在局部緊拓撲群上建立起不變積分的理論。1934年J.馮·諾伊曼用比A.哈爾簡單得多的方法,在緊群上直接建立起不變積分的理論。早在1927年,F.彼得與(C.H.)H.外爾已經在討論緊李群的線性表示時用到了不變積分。
  拓撲群的表示理論也是研究拓撲群的一個重要方面。從拓撲群G到所有n階非奇異方陣所成的拓撲群GL(n,C)中的同態,稱為G的一個線性表示。與有限群的線性表示理論相似,緊拓撲群的線性表示也具有完全可約性、正交性、完備性。所謂完全可約性,是指緊拓撲群的任一線性表示都是不可約表示的直和。所謂正交性,是指緊群G的任意兩個維數各為mn的不等價的不可約表示ρσ,ρ:xρ(x)=(gij(x)),xG,i,j=1,2,…,m;σ:xσ(x)=(hkl(x)),xGkl=1,2,…,n,有關係式拓撲群拓撲群,當i≠s或jt時;式中積分是群G上的不變積分,ij(x)、拓撲群(x)分別是gij(x)、拓撲群(x)的共軛。
  所謂完備性,是指如果Ω表示緊群G的所有不可約表示中所出現的連續函數gij(x)全體,那麼G上任一連續函數都可用Ω中函數的線性組合來逼近。這就是著名的彼得-外爾定理。
  在拓撲群中研究得最多的是局部歐氏群。當拓撲群G的某一點有鄰域同胚於歐氏空間的開集,則G稱為局部歐氏群。許多數學家在研究希爾伯特第 5問題即是否每一個局部歐氏群都是李群時作出了貢獻。Л.C.龐特里亞金於1934年解決了交換群的情況,馮·諾伊曼解決了緊群的情況,D.蒙哥馬利和L.齊平證明了任一局部連通的有限維的局部緊群是李群,從而肯定了D.希爾伯特的猜測。
  拓撲群的理論是李群的基礎。李群在數學的許多方面有廣泛的聯繫,在物理學中有大量的應用。

 

3 拓撲群 -配圖

 

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