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指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且不=1) ,函數圖形下凹,a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的函數。指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

1 指數函數 -數學術語

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為e,這裡的e是數學常數,就是自然對數的底數,近似等於 2.718281828,還稱為歐拉數。
當a>1時,指數函數對於x的負數值非常平坦,對於x的正數值迅速攀升,在 x等於 0 的時候y等於 1。當0<1時,指數函數對於x的負數值迅速攀升,對於x的正數值非常平坦,在x等於 0 的時候等於 1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識:d(a^x)/dx=a^x*ln(a)。
作為實數變數x的函數,y=e^x 的圖像總是正的(在 x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸,儘管它可以任意程度的靠近它(所以,x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln(x),它定義在所有正數x上。
有時,尤其是在科學中,術語指數函數更一般性的用於形如kax 的
指數函數
函數,這裡的 a 叫做「底數」,是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數 e 的指數函數。
指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),從上面我們關於冪函數的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。
在函數y=a^x中可以看到:
(1) 指數函數的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0且不等於1,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮,
同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
(2) 指數函數的值域為大於0的實數集合。
(3) 函數圖形都是下凸的。
(4) a大於1時,則指數函數單調遞增;若a小於1大於0,則為單調遞減的。
(5) 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過
指數函數
程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。
(7) 函數總是通過(0,1)這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)
(8) 顯然指數函數無界。
(9) 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
(10)當兩個指數函數中的a互為倒數時,兩個函數關於y軸對稱,但這兩個函數都不具有奇偶性。
(11)當指數函數中的自變數與因變數一一映射時,指數函數具有反函數。

2 指數函數 -公式推導


e的定義:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...
設a>0,a!=1----(log a(x))'
指數函數

=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)
=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))
=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))
=1/x*log a(e)特殊地,
當a=e時,
(log a(x))'=(ln x)'=1/x。
設y=a^x兩邊取對數ln y=xln a兩邊對求x
導y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地,
當a=e時,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

3 指數函數 -函數圖像


指數函數
(1)由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點(1,a)可知:在y軸右側,圖像從下到上相應的底數由小變大
(2)由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點(-1,1/a)可知:在y軸左側,圖像從下到上相應的底數由大變小
(3)指數函數的底數與圖像間的關係可概括的記憶為:在y軸右邊「底大圖高」;在y軸左邊「底大圖低」。(如右圖)》。
(4)y=a的x次方與y=a分之1的x次方的圖像關於y軸對稱。

4 指數函數 -冪的比較


比較大小常用方法:(1)比(商)法:(2)函數單調性;(3)中間值:要比較A與B的大小,先找一個中間值C,再比較A與C、B與C的大小,由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
比較兩個冪的大小時,除了上述一般方法之外,還應注意
(1)對於底數相同,指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因為3大於1所以函數單調遞增(即x的值越大,對應的y值越大),因為5大於4,所以y2大於y1。
(2)對於底數不同,指數相同的兩個冪的大小比較,可
指數函數
以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減;3大於1,所以函數圖像在定義域上單調遞增,在x=0是兩個函數圖像都過(0,1)然後隨著x的增大,y1圖像下降,而y2上升,在x等於4時,y2大於y1.
(3)對於底數不同,且指數也不同的冪的大小比較,則可以利用中間值來比較。如:
<1> 對於三個(或三個以上)的數的大小比較,則應該先根據值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組,再比較各組數的大小即可。
<2> 在比較兩個冪的大小時,如果能充分利用「1」來搭「橋」(即比較它們與「1」的大小),就可以快速的得到答案。那麼如何判斷一個冪與「1」大小呢?由指數函數的圖像和性質可知「同大異小」。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)時,a^x大於1,異向時a^x小於1.
〈3〉例:下列函數在R上是增函數還是減函數?說明理由.
⑴y=4^x
因為4>1,所以y=4^x在R上是增函數;
⑵y=(1/4)^x
因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數

5 指數函數 -定義域


x∈R
指代一切實數(-∞,+∞),就是R。

6 指數函數 -值域


對於一切指數函數y=a^x來講。他的a滿足a>0且a≠1,即說明y>0。所以值域為(0,+∞)。a=1時也可以,此時值域恆為1。

7 指數函數 -化簡技巧


(1)把分子、分母分解因式,可約分的先約分
(2)利用公式的基本性質,化繁分式為簡分式,化異分母為同分母
(3)把其中適當的幾個分式先化簡,重點突破.
指數函數

(4)可考慮整體思想,用換元法使分式簡化

8 指數函數 -對應關係


(1)曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數的定義域為(-∞,+∞)。
(2)曲線在x軸上方,而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠
指數函數
近X軸(x軸是曲線的漸近線)〈=〉函數的值域為(0,+∞)
(3)曲線過定點(0,1)〈=〉x=0時,函數值y=a^0(零次方)=1(a>0且a≠1)
(4)a>1時,曲線由左向右逐漸上升即a>1時,函數在(-∞,+∞)上是增函數;0<1時,曲線逐漸下降即0<1時,函數在(-∞,+∞)上是減函數。

9 指數函數 -概念


(1)指數函數的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。
(2)指數函數的值域為大於0的實數集合。
(3)函數圖形都是下凹的。​
(4)a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6)函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
(7)函數總是通過(0,1)這點。
(8)顯然指數函數無界。
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