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從n個不同元素中取出m(m≦n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。

1 排列數 -排列及計算公式

  從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 A(n,m)表示。(P是舊用法,現教科書上多用A,即Arrangement).
  A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(當n=m時,上述式子分母為零,無意義,因而另行規定:0!=1).
  2.組合及計算公式
  從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素並成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號
  C(n,m) 表示。(C即Combination).
  C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);C(n,m)=C(n,n-m);
  3.其他排列與組合公式
  從n個元素中取出r個元素的循環排列數=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
  n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為
  n!/(n1!*n2!*...*nk!).
  k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m).
  兩個基本計數原理及應用
  (1)加法原理和分類計數法
  1.加法原理
  2.加法原理的集合形式
  3.分類的要求
  每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務;兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重);完成此任務的任何一種方法,都屬於某一類(即分類不漏)
  (2)乘法原理和分步計數法
  1.乘法原理
  2.合理分步的要求
  任何一步的一種方法都不能完成此任務,必須且只須連續完成這n步才能完成此任務;各步計數相互獨立;只要有一步中所採取的方法不同,則對應的完成此事的方法也不同
  [例題分析]排列組合思維方法選講
  1.首先明確任務的意義
  例1. 從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列,這樣的不同等差數列有________個。
  分析:首先要把複雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。
  設a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定,
  又∵ 2b是偶數,∴ a,c同奇或同偶,即:從1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20這十個數中選出兩個數進行排列,由此就可確定等差數列,因而本題為18+16+…+2=180 。
  例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道,街道之間的間距相同,如圖。若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進,則從M到N有多少種不同的走法?
  分析:對實際背景的分析可以逐層深入
  (一)從M到N必須向上走三步,向右走五步,共走八步。
  (二)每一步是向上還是向右,決定了不同的走法。
  (三)事實上,當把向上的步驟決定后,剩下的步驟只能向右。
  從而,任務可敘述為:從八個步驟中選出哪三步是向上走,就可以確定走法數,
  ∴ 本題答案為:56。
  2.注意加法原理與乘法原理的特點,分析是分類還是分步,是排列還是組合
  例3.在一塊並排的10壟田地中,選擇二壟分別種植A,B兩種作物,每種種植一壟,為有利於作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不少於6壟,不同的選法共有______種。
  分析:條件中「要求A、B兩種作物的間隔不少於6壟」這個條件不容易用一個包含排列數,組合數的式子表示,因而採取分類的方法。
  第一類:A在第一壟,B有3種選擇;
  第二類:A在第二壟,B有2種選擇;
  第三類:A在第三壟,B有一種選擇,
  同理A、B位置互換 ,共12種。
  例4.從6雙不同顏色的手套中任取4隻,其中恰好有一雙同色的取法有________。
  (A)240 (B)180 (C)120 (D)60
  分析:顯然本題應分步解決。
  (一)從6雙中選出一雙同色的手套,有C(6,1)=6種方法;
  (二)從剩下的十隻手套中任選一隻,有C(10,1)=10種方法。
  (三)從除前所涉及的兩雙手套之外的八隻手套中任選一隻,有C(8,1)=8種方法;
  (四)由於選取與順序無關,因而(二)(三)中的選法重複一次,因而共240種。
  例5.身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列,在第一行的每一個人都比他同列的身後的人個子矮,則所有不同的排法種數為_______。
  分析:每一縱列中的兩人只要選定,則他們只有一種站位方法,因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關係,共有三縱列,從而有C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=90種。
  例6.在11名工人中,有5人只能當鉗工,4人只能當車工,另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工,4人當車工,問共有多少種不同的選法?
  分析:採用加法原理首先要做到分類不重不漏,如何做到這一點?分類的標準必須前後統一。
  以兩個全能的工人為分類的對象,考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。
  第一類:這兩個人都去當鉗工,有C(7,4)=35種;
  第二類:這兩人有一個去當鉗工,有C(6,4)*C(5,4)=75種;
  第三類:這兩人都不去當鉗工,有C(5,4)*C(6,4)=75種。
  因而共有185種。
  例7.現有印著0,1,3,5,7,9的六張卡片,如果允許9可以作6用,那麼從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數?
  分析:有同學認為只要把0,1,3,5,7,9的排法數乘以2即為所求,但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換,因而必須分類。
  抽出的三數含0,含9,有4*4*2=32種方法;
  抽出的三數含0不含9,有 6*4=24種方法;
  抽出的三數含9不含0,有 6*6*2=72種方法;
  抽出的三數不含9也不含0,有4×6=24種方法。
  共152種。
  例8.停車場劃一排12個停車位置,今有8輛車需要停放,要求空車位連在一起,不同的停車方法是________種。
  分析:把空車位看成一個元素,和8輛車共九個元素排列,因而共有P(9.8)種停車方法。
  3.特殊元素,優先處理;特殊位置,優先考慮
  例9.六人站成一排,求
  (1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數
  (2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數
  分析:(1)先考慮排頭,排尾,但這兩個要求相互有影響,因而考慮分類。
  第一類:乙在排頭,有p(5,5)種站法。
  第二類:乙不在排頭,當然他也不能在排尾,有4X4XP(4,4)種站法,
  共p(5,5)+4X4XP(4,4)=504種站法。
  (2)第一類:甲在排尾,乙在排頭,有P(4,4)種方法。
  第二類:甲在排尾,乙不在排頭,有3XP(4,4)種方法。
  第三類:乙在排頭,甲不在排頭,有4XP(4,4)種方法。
  第四類:甲不在排尾,乙不在排頭,有P(3,3)XP(4,4)種方法。
  共P(4,4)+3XP(4,4)+4XP(4,4)+P(3,3)XP(4,4)=312種。 
  例10.對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試,至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現,則這樣的測試方法有多少種可能?
  分析:本題意指第五次測試的產品一定是次品,並且是最後一個次品,因而第五次測試應算是特殊位置了,分步完成。
  第一步:第五次測試的有C(4.1)種可能;
  第二步:前四次有一件正品有C(6.1)種可能。
  第三步:前四次有P(4.4)種可能。
  C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)
  4.捆綁與插空
  例11. 8人排成一隊
  (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
  (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰
  (5)甲乙不相鄰,丙丁不相鄰
  (1)甲乙必須相鄰 ,就是把甲乙捆綁(甲乙可交換) 和7人排列 P(7.7)*2
  (2)甲乙不相鄰 P(8.8)-P(7.7)*2
  (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰??
  先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰 P(6.6)*2*2
  甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 P(7.7)*2-P(6.6)*2*2
  (4)甲乙必須相鄰,丙丁必須相鄰 P(6.6)*2*2
  (5)甲乙不相鄰,丙丁不相鄰
  P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2
  例12. 某人射擊8槍,命中4槍,恰好有三槍連續命中,有多少種不同的情況?
  分析:∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰,因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別,不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列,即P(5.2)。
  例13. 馬路上有編號為l,2,3,……,10 十個路燈,為節約用電又看清路面,可以把其中的三隻燈關掉,但不能同時關掉相鄰的兩隻或三隻,在兩端的燈也不能關掉的情況下,求滿足條件的關燈方法共有多少種?
  分析:即關掉的燈不能相鄰,也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別,因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
  ∴ 共C(6.3)=20種方法。
  4.間接計數法.(1)排除法
  例14. 三行三列共九個點,以這些點為頂點可組成多少個三角形?
  分析:有些問題正面求解有一定困難,可以採用間接法。
  所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數,
  ∴ 共種。
  例15.正方體8個頂點中取出4個,可組成多少個四面體?
  分析:所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數,
  ∴ 共-12=70-12=58個。
  例16. l,2,3,……,9中取出兩個分別作為對數的底數和真數,可組成多少個不同數值的對數?
  分析:由於底數不能為1。
  (1)當1選上時,1必為真數,∴ 有一種情況。
  (2)當不選1時,從2--9中任取兩個分別作為底數,真數,共,其中log24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94.
  因而一共有53個。
  (3)補上一個階段,轉化為熟悉的問題
  例17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相鄰),共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
  分析:(一)實際上,甲在乙的前面和甲在乙的後面兩種情況對稱,具有相同的排法數。因而有=360種。
  (二)先考慮六人全排列;其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位,因而前面的排法數重複了種, ∴ 共120種。
  例18.5男4女排成一排,要求男生必須按從高到矮的順序,共有多少種不同的方法?
  分析:首先不考慮男生的站位要求,共種;男生從左至右按從高到矮的順序,只有一種站法,因而上述站法重複了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
  若男生從右至左按從高到矮的順序,只有一種站法, 同理也有3024種,綜上,有6048種。
  例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行,共有多少種不同的方法?
  分析:先認為三個紅球互不相同,共種方法。而由於三個紅球所佔位置相同的情況下,共有變化,因而共=20種。
  5.擋板的使用
  例20.10個名額分配到八個班,每班至少一個名額,問有多少種不同的分配方法?
  分析:把10個名額看成十個元素,在這十個元素之間形成的九個空中,選出七個位置放置檔板,則每一种放置方式就相當於一種分配方式。因而共36種。
  6.注意排列組合的區別與聯繫:所有的排列都可以看作是先取組合,再做全排列;同樣,組合如補充一個階段(排序)可轉化為排列問題。
  例21. 從0,l,2,……,9中取出2個偶數數字,3個奇數數字,可組成多少個無重複數字的五位數?
  分析:先選後排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
  (一)兩個選出的偶數含0,則有種。
  (二)兩個選出的偶數字不含0,則有種。
  例22. 電梯有7位乘客,在10層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,最後兩人各從不同的樓層出去,有多少種不同的下樓方法?
  分析:(一)先把7位乘客分成3人,2人,一人,一人四組,有種。
  (二)選擇10層中的四層下樓有種。
  ∴ 共有種。
  例23. 用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重複數字的四位數,
  (1)可組成多少個不同的四位數?
  (2)可組成多少個不同的四位偶數?
  (3)可組成多少個能被3整除的四位數?
  (4)將(1)中的四位數按從小到大的順序排成一數列,問第85項是什麼?
  分析:(1)有5*5*4*3=300個。
  (2)分為兩類:0在末位,則有種:0不在末位,則有種。
  ∴ 共+種。
  (3)先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來,即先選
  0,1,2,3
  0,1,3,5
  0,2,3,4
  0,3,4,5
  1,2,4,5
  它們排列出來的數一定可以被3整除,再排列,有:4×()+=96種。
  (4)首位為1的有=60個。
  前兩位為20的有=12個。
  前兩位為21的有=12個。
  因而第85項是前兩位為23的最小數,即為2301。
  7.分組問題
  例24. 6本不同的書
  (1) 分給甲乙丙三人,每人兩本,有多少種不同的分法?
  (2) 分成三堆,每堆兩本,有多少種不同的分法?
  (3) 分成三堆,一堆一本,一堆兩本,一堆三本,有多少種不同的分法?
  (4) 甲一本,乙兩本,丙三本,有多少種不同的分法?
  (5) 分給甲乙丙三人,其中一人一本,一人兩本,第三人三本,有多少種不同的分法?
  分析:(1)有中。
  (2)即在(1)的基礎上除去順序,有種。
  (3)有種。由於這是不平均分組,因而不包含順序。
  (4)有種。同(3),原因是甲,乙,丙持有量確定。
  (5)有種。
  例25. 6人分乘兩輛不同的車,每車最多乘4人,則不同的乘車方法為_______。
  分析:(一)考慮先把6人分成2人和4人,3人和3人各兩組。
  第一類:平均分成3人一組,有種方法。
  第二類:分成2人,4人各一組,有種方法。
  (二)再考慮分別上兩輛不同的車。
  綜合(一)(二),有種。
  例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動,每個科技小組至少有一名學生參加,則分配方法共有________種.
  分析:(一)先把5個學生分成二人,一人,一人,一人各一組。
  其中涉及到平均分成四組,有=種分組方法。
  (二)再考慮分配到四個不同的科技小組,有種,
  由(一)(二)可知,共=240種。

2 排列數 -黃金排列數

  n為有幾個數(如n=2有1,2兩數;n=3有1,2,3三數)
  sn個數進行排列的種數(n個數都不在它所對應的位置上如n=3. 1,2,3三數,
  1不能在第一位,2不能在第二位,3不能在第三位,俗稱:混排)
  n s
  2 1
  3 2
  4 9
  5 44
  6 265
  7 1854
  n (n-1)[s(n-1)+s(n-2)]
  熟練掌握黃金排列數對各種排列問題有更簡單的解法。
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