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插值法又稱「內插法」,是利用函數f (x)在某區間中若干點的函數值,作出適當的特定函數,在這些點上取已知值,在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值,這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式,就稱它為插值多項式。

1簡介

插值法是函數逼近的一種重要方法,是數值計算的基本課題。本節只討論具有唯一插值函數的多項式插值和分段多項式插值,對其中的多項式插值主要討論n次多項式插值的方法,即給定n+1各點處的函數值后,怎樣構造一個n次插值多項式的方法。雖然理論上可以用解方程組⑵(那裡m=n)得到所求插值多項式,但遺憾的是方程組⑵當n較大時往往是嚴重是病態的。故不能用解方程組的方法獲得插值多項式。本節介紹的內容有:lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多項式插值及樣條插值。

2類別

Newton插值
Newton插值也是n次多項式插值,它提出另一種構造插值多項式的方法,與Lagrange插值相比,具有承襲性和易於變動節點的特點。
★基本思想 將待求的n次插值多項式Pn(x)改寫為具有承襲性的形式,然後利用插值條件⑴確定Pn(x)的待定係數,以求出所要的插值函數。
分段多項式插值
插值多項式余項公式說明插值節點越多,誤差越小,函數逐近越好,但後來人們發現,事實並非如此,例如:取被插函數,在[-5,5]上的n+1個等距節點:計算出f(xk)后得到Lagrange插值多項式Ln(x),考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n,分別取n=2,6,10,14,18計算f(x),Ln(x)及對應的誤差Rn(x),得下表
從表中可知,隨節點個數n的增加,誤差lRn(x)l不但沒減小,反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究,後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時,對應
的是高次插值多項式,此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法,本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1個節點 並給定在這些節點 上的函數值f(xR)=yR R=0,1,…,n
如果函數Φ(x)滿足條件
i) Φ(x)在[a,b]上連續
ii) Φ(xr)=yR,R =0,1,…,n
iii) Φ(x)zai 每個小區間[xR,xR+1]是m次多項式,
R=0,1,…,n-1則稱Φ(x)為f(x)在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中,常用次數不超過5的底次分段插值多項式,本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值,其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函數Φ(x)
在節點上與被插值函數f(x)有相同的導數值,即
★基本思想 將被插值函數f〔x〕的插值節點 由小到大 排序,然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m 次多項式去近似f〔x〕.
例題
例1 已知f(x)=ln(x)的函數表為:
試用線性插值和拋物線插值分別計算f(3.27)的近似值並估計相應的誤差。
解:線性插值需要兩個節點,內插比外插好因為3.27 (3.2,3.3),故選x0=3.2,x1=3.3,由n=1的lagrange插值公式,有
所以有,為保證內插對拋物線插值,選取三個節點為x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4,由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以線性插值計算ln3.27的誤差估計為
故拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為:
顯然拋物線插值比線性插值精確。

樣條插值

樣條插值是一種改進的分段插值。
定義 若函數在區間〖a,b〗上給定節點a=x0<x1<;…<xn=b及其函數值yj,若函數S(x)滿足
⒈ S(xj)=yj,j=0,1,2,…,n;
插值法主要用於道路橋樑,機械設計,電子信息工程等 很多工科領域的優化方法
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